Teorema Bochner-Khinchin

Teorema Bochner-Khinchin - în teoria probabilității: o teoremă privind condițiile necesare și suficiente pentru ca o funcție să fie caracteristică ; în teoria proceselor aleatoare: o teoremă privind proprietăţile funcţiei de corelare a proceselor staţionare.

Teoria probabilității

Formulare

Fie o funcție continuă și . Pentru ca o funcție să fie caracteristică, este necesar și suficient ca aceasta să fie o funcție definită nenegativă, adică pentru fiecare număr întreg , pentru orice număr real și orice număr complex , inegalitatea [1] este adevărată . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ $u_{1},u_{2},...,u_{m)$ $z_{1},z_{2},...,z_{m)$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j)}}\geqslant 0$

Aici înseamnă conjugatul complex al unui număr. ${\bar {z_{j)})$ $z_{j)$

Teoria proceselor aleatorii

Formulare

Fie un proces în general staționar cu o funcție de corelare [2] . $\stânga\{\xi (t),t\în T\dreapta\)$ $B(t)$

Dacă este un proces scalar în timp discret , atunci: $\stânga\{\xi (t),t\în T\dreapta\)$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda),&{\mbox{în cazul un proces complex ))\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{în cazul unui proces valid}}\end{cazuri}}$

unde este o funcție nenegativă nedescrescătoare determinată în mod unic din, dacă cerem asta și să fim continui în dreapta, este o funcție reală par nedescrescătoare a variației mărginite, este o funcție reală impară a variației mărginite. $F(\lambda )$ $B(t)$ $F(-\pi )=0$ $F(\lambda )$ $C(\lambda )$ $Q(\lambda )$

Dacă este un proces vectorial cu timp discret , atunci for este reprezentat ca și pentru un proces scalar cu timp discret, unde este o matrice ale cărei incremente sunt hermitiene și definite nenegativ, este o matrice simetrică reală, ale cărei incremente sunt definite nenegativ, este o matrice asimetrică reală. Matricea este determinată în mod unic de , dacă solicităm ca (matricea zero) și să fie continuă la dreapta (în sensul convergenței elementelor). $\stânga\{\xi (t),t\în T\dreapta\)$ $B(t)$ $F(\lambda )$ $F(\lambda _{1})-F(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2)$ $C(\lambda )$ $C(\lambda _{1}) -C(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2)$ $Q(\lambda )$ $F(\lambda )$ $B(t)$ $F(-\pi )=0$ $F(\lambda )$

Dacă este un proces scalar în timp continuu , atunci: $\stânga\{\xi (t),t\în T\dreapta\)$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty}e^{i\lambda t}dF(\lambda),&{\mbox{în cazul un proces complex ))\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{în cazul unui proces valid}}\end{cazuri}}$

unde funcțiile sunt definite în același mod ca și în cazul unui proces scalar cu timp discret, cu excepția condiției . $F(\lambda), C(\lambda), Q(\lambda)$ $F(-\infty )=0$

Dacă este un proces vectorial cu timp continuu , atunci pentru că există reprezentări ca în cazul unui proces scalar cu timp continuu, unde matricele sunt definite în același mod ca și în cazul unui proces vectorial cu timp discret, cu excepția stare (matrice zero). $\stânga\{\xi (t),t\în T\dreapta\)$ $B(t)$ $F(\lambda), C(\lambda), Q(\lambda)$ $F(-\infty )=0$

Vezi și

Funcția caracteristică a unei variabile aleatoare

Note

↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbook of probability theory and Mathematical statistics. - M., Nauka, 1985. - p. 65
↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbook of probability theory and Mathematical statistics. - M., Nauka, 1985. - p. 245-246