Teorema lui Brahmagupta

Teorema Brahmagupta este o teoremă a geometriei elementare , găsită în secolul al VII-lea d.Hr. de matematicianul indian Brahmagupta .

Dacă un patrulater înscris are diagonale perpendiculare care se intersectează într-un punct , atunci o dreaptă care trece prin punct și perpendiculară pe una dintre laturile sale bisectează latura opusă. $M$ $M$

Cometariu. Prin analogie cu perpendiculara mediană (mediatoarea) pe latura triunghiului, segmentul (în figura din dreapta) se numește antimediator [1] al laturilor opuse ale patrulaterului. Având în vedere această remarcă, teorema lui Brahmagupta poate fi formulată astfel: $FE$

Dacă un patrulater înscris are diagonale perpendiculare care se intersectează într-un punct M , atunci două perechi de antimediatrice ale sale trec prin punctul M .

Dovada

Figura prezintă un patrulater înscris având diagonalele perpendiculare și , iar o dreaptă este perpendiculară pe latura și intersectează latura într-un punct . Prin urmare, triunghiul este isoscel. În mod similar, triunghiul va fi isoscel . Prin urmare . $ABCD$ $AC$ $BD$ $ME$ $î.Hr$ $D.A.$ $F$ $\angle {DMF}=\angle {BME}=\angle {MCE}\equiv \angle {ACB}=\angle {ADB}\equiv \angle {FDM}.$ $FMD$ $FAM$ $|FA|=|FM|=|FD|$

Anticentrul și coliniaritatea

Patru segmente de dreaptă perpendiculare pe o latură a unui patrulater ortodiagonal înscris și care trec prin mijlocul laturii opuse se intersectează într-un punct [2] [3] . Acest punct de intersecție se numește anticentru . Anticentrul este simetric cu centrul cercului circumferitor în raport cu „centrul vârfului” . Astfel, într-un patrulater înscris, centrul cercului circumscris, „centroidul vârfului” și anticentrul se află pe aceeași dreaptă [3] .

Generalizări

Există o teoremă binecunoscută: dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un patrulater, atunci opt puncte se află pe un cerc ( cercul de opt puncte al patrulaterului ): punctele mijlocii ale laturilor și proiecțiile punctelor medii ale laturilor pe opus laturi [4] . Din această teoremă și teorema lui Brahmagupta rezultă că capetele a două perechi de antimediatrice (opt puncte) ale unui patrulater ortodiagonal înscris se află pe același cerc ( cerc de opt puncte ale patrulaterului ).

Această teoremă generalizează teorema Brahmagupta , cu toate acestea, absența unui patrulater înscris într-un cerc duce la faptul că antimediatricele sale se intersectează nu în punctul care este punctul de intersecție al diagonalelor sale.

Note

↑ Starikov V. N. Cercetare în geometrie // Culegere de publicații a revistei științifice Globus pe baza materialelor celei de-a V-a conferințe științifice-practice internaționale „Realizări și probleme ale științei moderne”, Sankt Petersburg: o colecție de articole (nivel standard, nivel academic). // Revista științifică Globus . - S-P., 2016.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 131.
↑ 1 2 Honsberger, 1995 , p. 35–39, 4.2 Patrulatere ciclice.
↑ Zaslavsky, Permyakova et al ., 2009 .

Literatură

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M .: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . - Asociația de matematică din America , 1995. - Vol. 37. - P. 17-26. - (Noua Bibliotecă Matematică). - ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). - ISBN 0-88385-600-X (set complet).
Matematică în sarcini. Culegere de materiale din școlile de teren ale echipei de la Moscova pentru Olimpiada de Matematică All-Russian / Editat de A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov și A. V. Shapovalov .. - Moscova: MTsNMO, 2009 - ISBN 9405-5-- ISBN 9405-5 477-4 .