Perpendicularitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

Perpendicularitatea (din lat. perpendicularis - literalmente plumb) [1] - o relație binară între diferite obiecte ( vectori , linii , subspații etc.).

Există un simbol general acceptat pentru perpendicularitate: ⊥, propus în 1634 de matematicianul francez Pierre Erigon . De exemplu, perpendicularitatea dreptelor și este scrisă ca . $m$ $n$ $m\perp n$

În avion

Linii perpendiculare în plan

Două drepte dintr-un plan se numesc perpendiculare dacă formează 4 unghiuri drepte atunci când se intersectează .

Despre o linie perpendiculară pe o dreaptă trasată printr-un punct din afara dreptei , ei spun că există o perpendiculară scăzută de la la . Dacă punctul se află pe dreapta , atunci ei spun că există o perpendiculară la restaurat de la până (termenul învechit restaurat [2] ). $m$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$

În coordonate

Într-o expresie analitică, drepte date de funcții liniare

y=a\cdot x+b

și

y=k\cdot x+m

vor fi perpendiculare dacă pe pantele lor este îndeplinită următoarea condiție

a\cdot k=-1.

Construcția unei perpendiculare

Pasul 1: Folosind o busolă, desenați un semicerc centrat în punctul P , obținând punctele A și B.

Pasul 2: Fără a modifica raza, construiți două semicercuri centrate în punctele A și , respectiv, B , care trec prin punctul P. Pe lângă punctul P , există un alt punct de intersecție al acestor semicercuri, să-l numim Q .

Pasul 3: Conectați punctele P și Q. PQ este perpendiculara pe dreapta AB .

Coordonatele punctului de bază al perpendicularei pe dreapta

Fie ca linia să fie dată de punctele și . O perpendiculară coboară de la punct la dreaptă . Apoi baza perpendicularei poate fi găsită după cum urmează. $A(x_a,y_a)$ $B(x_b,y_b)$ $P(x_p,y_p)$ $O(x_o,y_o)$

Dacă (vertical), atunci și . Dacă (orizontală), atunci și . $x_a = x_b$ $x_o = x_a$ $y_o = y_p$ $y_a = y_b$ $x_o = x_p$ $y_o = y_a$

În toate celelalte cazuri:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b -y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

În spațiul 3D

Linii perpendiculare

Două drepte din spațiu sunt perpendiculare între ele dacă sunt paralele cu alte două drepte reciproc perpendiculare situate în același plan. Două drepte situate în același plan sunt numite perpendiculare (sau reciproc perpendiculare) dacă formează patru unghiuri drepte.

Perpendicularitatea unei drepte pe un plan

Definiție : O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate dreptele aflate în acest plan.

Semn : Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează ale unui plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Un plan perpendicular pe una dintre cele două drepte paralele este, de asemenea, perpendicular pe cealaltă. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una.

Planuri perpendiculare

Se spune că două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90°.

Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
Dacă dintr-un punct aparținând unuia dintre cele două planuri perpendiculare, o perpendiculară este trasată pe celălalt plan, atunci această perpendiculară se află complet în primul plan.
Dacă în unul dintre cele două plane perpendiculare desenăm o perpendiculară pe linia lor de intersecție, atunci această perpendiculară va fi perpendiculară pe al doilea plan.
Un plan perpendicular pe două plane care se intersectează este perpendicular pe linia lor de intersecție [3] .

În spații multidimensionale

Perpendicularitatea planurilor în spațiul 4-dimensional

Perpendicularitatea planurilor în spațiul cu patru dimensiuni are două semnificații: planurile pot fi perpendiculare în sens tridimensional dacă se intersectează în linie dreaptă (și, prin urmare, se află în același hiperplan ), iar unghiul diedric dintre ele este de 90°.

Planurile pot fi, de asemenea, perpendiculare în sensul 4-dimensional dacă se intersectează într-un punct (și, prin urmare, nu se află în același hiperplan) și orice 2 linii trasate în aceste plane prin punctul lor de intersecție (fiecare linie în planul său) sunt perpendicular.

În spațiul 4-dimensional, exact 2 planuri reciproc perpendiculare în sensul 4-dimensional pot fi trase printr-un punct dat (prin urmare, spațiul euclidian 4-dimensional poate fi reprezentat ca un produs cartezian a două plane). Dacă combinăm ambele tipuri de perpendicularitate, atunci prin acest punct se pot desena 6 planuri reciproc perpendiculare (perpendiculare în oricare dintre cele două valori menționate mai sus).

Existența a șase plane reciproc perpendiculare poate fi explicată prin următorul exemplu. Fie dat sistemul de coordonate carteziene x yzt . Pentru fiecare pereche de linii de coordonate, există un plan care include aceste două linii. Numărul de astfel de perechi este : xy , xz , xt , yz , yt , zt , iar acestea corespund la 6 planuri. Cele din aceste plane care includ axa cu același nume sunt perpendiculare în sens tridimensional și se intersectează în linie dreaptă (de exemplu, xy și xz , yz și zt ), iar cele care nu includ axele aceluiași numele sunt perpendiculare în sensul 4-dimensional și se intersectează în punct (de exemplu, xy și zt , yz și xt ). $\tbinom{4}{2}=6$

Perpendicularitatea unei drepte și a unui hiperplan

Fie dat un spațiu euclidian n-dimensional (n>2) și spațiul vectorial asociat acestuia , iar linia l cu spațiul vectorial de ghidare și hiperplanul cu spațiul vectorial de ghidare (unde , ) aparțin spațiului . $\mathbb {R} ^{n}$ $W^n$ $L^1$ $\Pi_{k}$ $L^{k}$ $L_1\subset W^n$ $L^k \subset W^n,\ k <n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Linia l se numește perpendiculară pe hiperplan dacă subspațiul este ortogonal cu subspațiul , i.e. $\Pi_{k}$ $L_{1}$ $L^{k}$ $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

Variații și generalizări

În teoria inversării se introduc: un cerc sau o dreaptă, perpendicular pe cercul . $\Gamma$
În teoria cercurilor și inversării , se spune că două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt ortogonale ( perpendiculare ). Cercurile pot fi considerate ortogonale dacă formează un unghi drept între ele. De obicei, unghiul dintre curbe este unghiul dintre tangentele lor desenat în punctul de intersecție.
În teoria inversării , o dreaptă este perpendiculară pe un cerc dacă trece prin centrul acestuia din urmă. $\Gamma$

Vezi și

Note

↑ Dicționar de cuvinte străine. - M .: „ Limba rusă ”, 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ A. P. Kiselev . Geometrie elementară / editat de N. A. Glagolev . — 1938.
↑ Alexandrov A.D. , Werner A.L., Ryzhik V.I. Stereometrie. Geometrie în spațiu . - Visaginas: Alfa, 1998. - P. 46 . — 576 p. - (Biblioteca elevilor). — ISBN 9986582539 .