Teorema secvenței crescătoare mărginite a lui Weierstrass

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 noiembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Weierstrass asupra unei secvențe crescătoare mărginite de sus (sau o secvență descrescătoare mărginită de jos) afirmă că orice succesiune monoton crescătoare (sau monoton descrescătoare) mărginită de sus are o limită, iar această limită este egală cu cea mai mare superioară (sau inferioară) legat. În ciuda transparenței și evidenței demonstrației, această teoremă se dovedește a fi foarte convenabilă pentru a găsi limitele multor secvențe sau cel puțin pentru a demonstra existența lor.

Formulare

---

Dovada

Fie o secvență crescătoare mărginită. Atunci mulțimea este mărginită, prin urmare, de teorema supremului , are un supremum . Să o notăm prin . Apoi . Într-adevăr, deoarece este supremul mulțimii , atunci pentru oricare există un număr astfel încât . Atunci pentru oricare avem: . Apoi la . Prin urmare, . Teorema a fost demonstrată. [unu] ${x_n}$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $S$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$ $S$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $\varepsilon >0$ $N$ $S-\varepsilon <x_N\leqslant S$ $n>N$ $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S<S+\varepsilon$ $\left | {x_n-S} \right |<\varepsilon$ $n>N$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$

Note

↑ Zorich, pp.101-102

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. M.: Nauka, 1981. 544 p.