Teorema lui Wick pentru integrala funcțională

Teorema lui Wick pentru integrala funcțională este o generalizare a teoremei lui Wick pentru un polinom în coordonatele unui vector gaussian multidimensional în cazul unei distribuții continue Gaussiene . Utilizat pe scară largă în aparatura integralelor funcționale .

Formulare

Teorema.

Fie câmpul aleatoriu să corespundă distribuției gaussiene continue cu medie zero, adică. . Atunci următoarele sunt valabile pentru valorile medii ale produselor de cantități de forma : $\varphi (X)$ $\langle \varphi (X)\rangle =0$ $\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

dacă chiar și $N$

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

dacă ciudat. $N$

Sub se înțelege împărțirea setului în perechi , în timp ce sumarea trece peste toate partițiile diferite posibile în astfel de perechi. $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{ N/2}}\rangle$ $\{1,\ldots ,N\}$ $N/2$ $(i_{k},j_{k})$ $\{1,\ldots ,N\}$

Exemple

La produsul 4 elemente: . $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \ varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{ 3}\rangle$

Pentru a produsului 6 elemente:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6 }\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$ ,

în plus, însumarea este efectuată peste toate perechile posibile selectate din setul , de exemplu, sau (există 15 astfel de perechi în total). $(i,j),(k,l),(m,n)$ $\{1,2,3,4,5,6\)$ $(1,3),(2,5),(4,6)$ $(1,5),(2,4),(3,6)$

În mod similar, pentru cazurile de 8 sau mai multe elemente

Utilizare

Se știe că dacă densitatea distribuției gaussiene este descrisă prin formula

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi {2}}\right\}$ ,

apoi

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1 }(X_{1},X_{2})$ .

Adică, orice funcție de corelație poate fi exprimată prin teorema lui Wick în termeni de combinații , adică, de exemplu $G(X_{1},\ldots,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots,\varphi (X_{N})\rangle$ $K^{-1}$

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1 }(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+ K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

Vezi și

Literatură

Vasiliev A.N. Grup de renormalizare a câmpului cuantic în teoria comportamentului critic și dinamicii stocastice. - Editura Institutului de Fizică Nucleară din Sankt Petersburg (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .