Teorema lui Goodstein este o teoremă a logicii matematice despre numerele naturale , demonstrată de Reuben Goodstein [1] . Afirmă că toate secvențele Goodstein se termină cu zero. După cum arată L. Kirby și Jeff Paris [2] [3] , teorema lui Goodstein nu este demonstrabilă în axiomatica Peano ( ) (dar poate fi demonstrată, de exemplu, în aritmetica de ordinul doi ).
Considerați reprezentarea numerelor întregi pozitive ca o sumă de termeni de putere cu aceeași bază.
De exemplu, să scriem numărul 581 folosind baza 2:
Să descompunăm exponenții după același principiu:
O extindere similară poate fi obținută pentru orice număr.
Vom aplica recursiv următoarea operație expresiei rezultate:
Astfel, după aplicarea primei operații (schimbați 2 în 3 și scădeți unul din număr), se va obține expresia
După al doilea (schimbați 3 cu 4 și scădeți unul din număr):
După al treilea (schimbați 4 în 5 și scădeți unul din număr):
Teorema lui Goodstein spune că rezultatul final va fi întotdeauna 0.
O afirmație mai puternică este, de asemenea, adevărată: dacă în loc de 1 se adaugă la bază un număr arbitrar și se scade din numărul însuși, atunci se va obține întotdeauna 0 chiar dacă exponenții nu sunt descompuși inițial în baza 2.
Ultima bază ca funcție discretă a numărului inițial crește foarte repede și deja la ea atinge valoarea . Pentru , va fi întotdeauna numărul Woodall [4] .
Luați în considerare un exemplu de succesiune Goodstein pentru numerele 1, 2 și 3.
Număr | Baza | Înregistrare | Sens |
---|---|---|---|
unu | 2 | unu | unu |
3 | unsprezece | 0 | |
2 | 2 | 2 1 | 2 |
3 | 3 1 − 1 | 2 | |
patru | 2 - 1 | unu | |
5 | 1 - 1 | 0 | |
3 | 2 | 2 1 + 1 | 3 |
3 | (3 1 + 1) − 1 = 3 1 | 3 | |
patru | 4 1 − 1 = 1 + 1 + 1 | 3 | |
5 | (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 | 2 | |
6 | (1 + 1) − 1 = 1 | unu | |
7 | 1 − 1 = 0 | 0 |