Numărul Woodall

În teoria numerelor, numărul Woodall (W n ) este orice număr natural al formei

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

pentru un n firesc . Câteva primele numere Woodall:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, ... secvența OEIS A003261 .

Numerele Woodall au fost studiate pentru prima dată de Allan J. Cunninghamși G. J. Woodallîn 1917, inspirat de cercetările anterioare ale lui James Cullen asupra numerelor Cullen definite în mod similar . Numerele Woodall au apărut într-un mod ciudat în teorema lui Goodstein .

Numerele Woodall care sunt prime se numesc numere prime Woodall . Primii exponenți n pentru care numerele Woodall corespunzătoare W n sunt prime:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... secvența OEIS A002234 .

Numerele prime Woodall formează o succesiune:

7, 23, 383, 32212254719, ... secvența OEIS A050918 .

În 1976, Christopher Hooley a arătat că aproape toate numerele Cullen sunt compuse . Dovada lui Christopher Hooley a fost reelaborată de matematicianul Hirmi Suyama pentru a arăta că este adevărată pentru orice succesiune de numere în care a și b sunt numere întregi și, parțial, și pentru numerele Woodall. Se presupune că există infinit de numere prime Woodall. Din octombrie 2018, cel mai mare Woodall prim cunoscut este . [1] Are 5122515 cifre și a fost găsit de Diego Bertolotti în 2018 în proiectul de calcul distribuit PrimeGrid [2] . $n\cdot 2^{n+a}+b$ $17016602\cdot 2^{17016602}-1$

La fel ca numerele Cullen, numerele Woodall au multe proprietăți de divizibilitate. De exemplu, dacă p este un număr prim, atunci p se împarte

W_{(p+1)/2}

dacă simbolul Jacobi este +1 și

\left({\frac {2}{p}}\right)

W_{(3p-1)/2}

, dacă simbolul Jacobi este −1.

\left({\frac {2}{p}}\right)

Numărul Woodall generalizat este definit ca un număr de forma , unde n + 2 > b . Dacă un număr prim poate fi scris în această formă, se numește număr prim Woodall generalizat . $n\cdot b^{n}-1$

Vezi și

Primele de Mersenne sunt numere prime de forma 2 n - 1.

Note

↑ Baza de date Prime: 8508301*2^17016603-1 , Cea mai mare bază de date Primes cunoscută a lui Chris Caldwell
↑ PrimeGrid, Anuntul 17016602*2^17016602 - 1 . (nedefinit)

Literatură

Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (ed. a treia), New York: Springer Verlag , p. secțiunea B20, ISBN 0-387-20860-7 .
Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes , Mathematics of Computation vol . 64 (212): 1733–1741 , < http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995- 1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf > .
Caldwell, Chris, The Top Twenty: Woodall Primes , < http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=7 > . Consultat la 29 decembrie 2007. .

Link -uri

Chris Caldwell, The Prime Glosar: Numărul Woodall la The Prime Pages .
Weisstein, Eric W. Woodall număr (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Steven Harvey, Lista primelor Woodall generalizate .
Paul Leyland, Numerele Cullen și Woodall generalizate