Teorema lui Kolmogorov pe trei serii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Teorema celor trei serii a lui Kolmogorov , numită după Andrey Kolmogorov , în teoria probabilității stabilește un criteriu de convergență cu probabilitatea unul dintr-o serie infinită de variabile aleatoare prin convergența seriilor asociate cu distribuțiile lor de probabilitate . Teorema cu trei serii a lui Kolmogorov, combinată cu lema lui Kronecker , poate fi folosită pentru a demonstra legea puternică a numerelor mari .

Definiții

Să fie ceva constant. Apoi $c$

\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}

$eu$ este un indicator al setului de valori ale unei variabile aleatorii.

Enunțul teoremei

Fie o succesiune de variabile aleatoare independente. Pentru ca seria să convergă cu probabilitatea unu , este necesar ca seria să convergă pentru oricare $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\sum \xi$ $c>0$

\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},

\sum D\xi _{n}^{c},

\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)

şi este suficient ca aceste serii să convergă pentru unii . $c>0$

Dovada

Suficiență

Prin teorema celor două serii, seria converge cu probabilitatea unu. Dar dacă , atunci prin lema Borel - Cantelli cu probabilitatea unu , și, prin urmare, pentru toate , cu excepția, poate, a unui număr finit. Prin urmare, și seria converge. $\sum \xi _{n}^{c)$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\xi _{n}=\xi _{n}^{c)$ $n$ $\sum \xi$

Necesitate

Dacă seria converge, atunci și, prin urmare, nu poate avea loc mai mult de un număr finit de evenimente pentru toată lumea . Prin urmare , prin partea a doua a lemei Borel-Cantelli . În plus, din convergența seriei urmează convergența seriei . Prin urmare, după teorema celor două serii, fiecare dintre serii converge . $\sum \xi _{n)$ $\xi _{n}\rightarrow 0$ $c>0$ ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c))$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum \xi _{n)$ $\sum \xi _{n}^{c)$ $\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}$ $\sum D\xi _{n}^{c)$

Consecință

Fie variabile aleatoare independente cu . Atunci dacă $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\mathbb {E} \xi _{n}=0$

\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,

apoi seria converge cu probabilitatea unu. $\sum \xi _{n)$

Exemplu

Ca exemplu, luați în considerare seria armonică aleatorie :

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n)}

unde " " înseamnă că semnul fiecărui termen este ales aleatoriu, independent și cu probabilități , . Alegând ca o serie ai cărei membri sunt și cu probabilități egale, este ușor de verificat dacă îndeplinește condițiile teoremei și converge cu probabilitatea unu. Pe de altă parte, o serie similară de rădăcini pătrate inverse cu semne aleatorii: $\p.m$ $1/n$ $1/2$ $1/2$ $\xi _{n}$ $1/n$ $-1/n$

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},

diverge cu probabilitatea unu, deoarece seria diverge. $\sum D\xi _{n}^{c)$

Literatură

Shiryaev A. N. Probabilitate. - Ed. a 3-a, revizuită. și suplimentar .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capitolul 4 § 2 secțiunea 1)

Link -uri

Soare, Rongfeng. Note de curs (link în jos) . Preluat la 22 septembrie 2015. Arhivat din original la 17 aprilie 2018. (nedefinit)