Teorema de convergență Kolmogorov-Hhinchin

Teorema de convergență Kolmogorov - Khinchin în teoria probabilității definește un criteriu de convergență cu probabilitate unu pentru o serie infinită de variabile aleatoare și poate fi folosită pentru a demonstra teorema în două serii Kolmogorov

Enunțul teoremei

Vom presupune că șirul de variabile aleatoare independente și este mulțimea acelor rezultate elementare în care seria converge către o limită finită. $\xi _{1},\xi _{2}...$ $S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n)$ $A$ $\omega$ $\sum \xi _{n}(\omega )$

Prima parte

Lasă . Atunci, dacă , atunci seria converge cu probabilitatea unu. $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ $\sum \xi _{n)$

Partea a doua

Dacă, în plus, variabilele aleatoare sunt mărginite uniform: , atunci este și invers adevărat: prima parte a seriei decurge din convergența cu probabilitatea unu. $\xi _{n},n\geqslant 1$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ $\sum \xi _{n)$

Dovada

Prima parte

Secvența , converge cu probabilitatea unu dacă și numai dacă această secvență este fundamentală cu probabilitatea unu [1] , i.e. $(S_{n}), n\geqslant 1$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty

(unu)

Datorită inegalității lui Kolmogorov :

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k =n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\ xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}

Prin urmare, dacă , atunci condiția 1 este îndeplinită , prin urmare, seria converge cu probabilitatea unu. $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$ $\sum \xi _{k)$

Partea a doua

Lasă seria să converge. Apoi, prin condiția 1 , pentru suficient de mare : $\sum \xi _{k)$ $n$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2)}

(2)

Datorită inegalității lui Kolmogorov . ${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2 )){\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2))))$

Prin urmare, dacă presupunem că , atunci obținem $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , care contrazice inegalitatea 2 . ${\displaystyle}$

Note

↑ Shiryaev, 2004 , p. 370.

Literatură

Shiryaev A. N. Probabilitate. - Ed. a 3-a, revizuită. și suplimentar .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capitolul 4 § 2 secțiunea 1)