Teorema lui Lagrange (teoria grupurilor)
Teorema lui Lagrange în teoria grupurilor spune:
|
Fie grupul G finit și H subgrupul său . Atunci ordinea lui G este egală cu ordinea lui H înmulțită cu numărul claselor sale din stânga sau din dreapta ( indicele de subgrup ). |
Consecințele
- Numărul de clase din dreapta și din stânga oricărui subgrup din este același și se numește indicele subgrupului din (notat ).
- Ordinea oricărui subgrup al unui grup finit împarte ordinea .
- Deoarece ordinea unui element de grup este egală cu ordinea subgrupului ciclic format din acest element, rezultă că ordinea oricărui element al unui grup finit împarte ordinea lui . Acest corolar generalizează teorema lui Euler și mica teoremă a lui Fermat în teoria numerelor .
- Grupul de ordine , unde este un număr prim , este ciclic. (Deoarece ordinea unui alt element decât unul nu poate fi egală cu 1, toate elementele cu excepția unuia au ordine , ceea ce înseamnă că fiecare dintre ele generează un grup.)
![[G:H]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c19ed6f18e6db133b5a0257ecde8026808fd1c)
Istorie
Un caz special important al acestei teoreme a fost demonstrat de Lagrange în 1771 în legătură cu investigațiile privind solubilitatea ecuațiilor algebrice în radicali . Cu mult înainte de definirea grupului, Lagrange a investigat grupul de permutare . Formularea modernă include formularea originală a teoremei lui Lagrange ca exemplu.