Teoremele lui Sylow

În teoria grupurilor , teoremele lui Sylov sunt o versiune incompletă a teoremei inverse cu teorema lui Lagrange și, pentru unii divizori de ordinul grupului G, garantează existența subgrupurilor de acest ordin. Teoremele au fost demonstrate de matematicianul norvegian Sylov în 1872 .

Definiții

Fie un grup finit și fie un număr prim care împarte ordinul lui . Subgrupurile de ordine sunt numite -subgrupuri . $G$ $p$ $G$ $p^t$ $p$

Să evidențiem gradul maxim de , adică unde nu este divizibil cu , din ordinea grupului . Atunci un subgrup Sylow este un subgrup de ordin . $G$ $p$ $|G| = p^ns$ $s$ $p$ $p$ $G$ $p^{n}$

Teoreme

Să fie un grup finit. Apoi: $G$

Subgrupul Sylow există. $p$
Fiecare -subgrup este conținut într-un anumit -subgrup Sylow. Toate subgrupurile Sylow sunt conjugate (adică fiecare este reprezentată ca , unde este un element al grupului și este un subgrup Sylow din teorema 1). $p$ $p$ $p$ $gPg^{-1}$ $g$ $P$
Numărul de subgrupuri Sylow este comparabil cu unitatea modulo ( ) și împarte , unde și . $p$ $N_p$ $p$ $N_{p}\equiv 1\;{{\rm {mod\,}}}p$ $s$ $|G|=p^{k}s$ $(p,s)=1$

Consecință

Dacă toți divizorii , cu excepția lui 1, după împărțirea la dau un rest altul decât unitatea, atunci există un subgrup Sylow unic și este normal (și chiar caracteristic ). $|G|$ $p$ $G$ $p$

De exemplu: Să demonstrăm că grupul de ordin 350 nu poate fi simplu . , deci subgrupul Sylow 5 are ordinul 25. trebuie să împartă 14 și este congruent cu 1 modulo 5. Aceste condiții sunt îndeplinite numai de identitate. Prin urmare, într -un singur subgrup Sylow 5, ceea ce înseamnă că este normal și, prin urmare, nu poate fi simplu. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ $N_5$ $G$ $G$

Dovezi

Fie divizorul primar al ordinului . $p^{n}$ $p$ $G$

1. Demonstrăm teorema prin inducție de ordinul . Când teorema este adevărată. Lasă acum . Să fie centrul grupului . Sunt posibile două cazuri: $G$ $|G|=p$ $|G|>p$ $Z(G)$ $G$

a) împarte . Apoi, există un grup ciclic la centru (ca element al descompunerii primare a centrului) care este normal în . Grupul de coeficient din acest grup ciclic are un ordin mai mic decât , prin urmare, prin ipoteza de inducție, conține un subgrup Sylow . Să luăm în considerare prototipul său în . Va fi subgrupul Sylow de care avem nevoie . $p$ $|Z|$ $\langle a\rangle _{p^{k)}$ $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$

b) nu împarte . Apoi luați în considerare împărțirea în clase de conjugație : (deoarece dacă un element se află în centru, atunci clasa sa de conjugație constă numai din el). Ordinea este divizibilă cu , deci trebuie să existe o clasă a cărei ordine nu este divizibilă cu . Centralizatorul corespunzător are ordine , . Prin urmare, prin ipoteza de inducție, există un Sylow -subgrup în el - va fi cel dorit. $p$ $|Z|$ $G$ $|G| = |Z| + \sum |K_a|$ $G$ $p$ $K_{a}$ $p$ $Z_G(a)$ $p^{n}r$ $r<s$ $p$

2. Fie un -subgrup arbitrar de . Luați în considerare acțiunea sa asupra setului de clase din stânga prin deplasări la stânga, unde este un subgrup Sylow . Numărul de elemente ale oricărei orbite non-triviale trebuie să fie divizibil cu . Dar nu este divizibil cu , ceea ce înseamnă că acțiunea are un punct fix . Obținem , și, prin urmare, , adică se află în întregime într-un subgrup Sylow . $H$ $p$ $G$ $G/P$ $P$ $p$ $p$ $|G/P|$ $p$ $gP$ $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ $H$ $p$

Dacă, în plus, este un subgrup Sylow , atunci este conjugat cu . $H$ $p$ $P$

3. Numărul de subgrupuri p Sylow este [G:N G (P)], deci împarte |G|. După teorema 2, mulțimea tuturor subgrupurilor p Sylow este X = {gPg -1 }. Se consideră acțiunea lui P asupra X prin conjugări. Fie H din X un punct fix sub această acțiune. Atunci P și H aparțin normalizatorului subgrupului H și, în plus, sunt conjugați în N G (H) ca subgrupele sale Sylow p. Dar H este normal în normalizatorul său, deci H = P și singurul punct fix de acțiune este P. Deoarece ordinele tuturor orbitelor netriviale sunt multiple ai p, obținem . $N_p \equiv 1 \pmod p$

Găsirea subgrupului Sylow

Problema găsirii unui subgrup Sylow dintr-un grup dat este o problemă importantă în teoria grupurilor computaționale . Pentru grupurile de permutare, William Cantor a demonstrat că un p -subgrup Sylow poate fi găsit în timp polinomial în dimensiunea problemei (în acest caz, ordinea grupului , ori numărul generatorilor ).

Literatură

A. I. Kostrikin. Introducere în algebră, partea a III-a. Moscova: Fizmatlit, 2001.
E. B. Vinberg. Curs de algebră. M.: Factorial-Presă, 2002.