Teorema de trei pătrate a lui Legendre

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2022; verificările necesită 2 modificări .

Teorema celor trei pătrate a lui Legendre afirmă că un număr natural poate fi reprezentat prin suma a trei pătrate de numere întregi

dacă și numai dacă n nu este reprezentabil ca , unde a și b sunt numere întregi.

În special, numerele care nu pot fi reprezentate ca sumă a trei pătrate și pot fi reprezentate ca , sunt

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, ... este secvența OEIS A004215 .

Istorie

Pierre de Fermat a dat un criteriu pentru reprezentabilitatea numerelor de forma suma a trei pătrate, dar nu a oferit o dovadă. Nicolas de Beguelin a observat în 1774 [1] că orice număr natural care nu este reprezentabil în formă și în formă este suma a cel mult trei pătrate, dar nu a oferit o dovadă satisfăcătoare. [2] În 1796, Gauss a demonstrat că orice număr natural este suma a cel mult trei numere triunghiulare . De aici rezultă că suma nu este mai mare de trei pătrate. În 1797 sau 1798, Legendre a obținut prima demonstrație a teoremei trei pătrate. [3] În 1813, Cauchy a remarcat [4] că teorema lui Legendre este echivalentă cu formularea de mai sus. Mai devreme, în 1801, Gauss a obținut un rezultat mai general, [5] care a dus la teorema lui Legendre. În special, Gauss a numărat numărul de soluții pentru ecuația între trei pătrați și, în același timp, a generalizat un alt rezultat al lui Legendre, a cărui demonstrație a fost incompletă [6] . Acesta a fost probabil motivul afirmațiilor eronate că demonstrația lui Legendre a fost incompletă și completată de Gauss. [7]

Teorema de patru pătrate a lui Lagrange și teorema de trei pătrați oferă o soluție completă problemei lui Waring pentru k  = 2.

Dovezi

Dovada că numerele nu pot fi reprezentate ca o sumă a trei pătrate este ușoară și rezultă din faptul că orice pătrat modulo 8 este congruent cu 0, 1 sau 4.

Există mai multe dovezi că restul numerelor pot fi reprezentate ca o sumă a trei pătrate, în afară de demonstrația lui Legendre. Dovada lui Dirichlet din 1850 a devenit un clasic. [8] Se bazează pe trei leme:

• Legea cuadratică a reciprocității ,
• Teorema lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică ,
• Clasa de echivalență a unei forme pătratice triviale cu trei termeni .

Legătura cu teorema celor patru pătrate

Gauss a remarcat [9] că teorema de trei pătrați face ușoară demonstrarea teoremei de patru pătrate. Cu toate acestea, demonstrarea Teoremei celor trei pătrate este mult mai dificilă decât demonstrarea directă a teoremei celor patru pătrate, care a fost demonstrată pentru prima dată în 1770.

Vezi și

• Teorema Fermat-Euler

Note

1. ↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369.
2. ↑ Dixon, Leonard Eugene , Istoria teoriei numerelor , vol. II, p. 15 (Institutul Carnegie din Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, retipărire).
3. ↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres , Paris, An VI (1797–1798), P. și pp. 398–399.
4. ↑ A. L. Cauchy, Mem. sci. Matematică. Fiz. de l'Institut de France , (1) 14 (1813–1815), 177.
5. ↑ C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae , art. 291 și 292.
6. ↑ A.-M. Legendre, Hist. et Mem. Acad. Roy. sci. Paris , 1785, pp. 514–515.
7. ↑ Vezi, de exemplu: Elena Deza și M. Deza. Numere figurate . World Scientific 2011, p. 314 [1] Arhivat la 4 august 2018 la Wayback Machine
8. ↑ vol. I, părțile I, II și III din : Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , New York, Chelsea, 1927. A doua ediție tradusă în engleză de Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
9. ↑ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, p. 342, secțiunea 293, ISBN 0-300-09473-6