Teorema lui Liouville privind aproximarea numerelor algebrice

Teorema de aproximare a lui Liouville pentru numerele algebrice este o teoremă care afirmă că iraționalitățile algebrice nu pot fi aproximate prea bine prin numere raționale . Și anume, dacă este un număr algebric de grad și și sunt orice numere întregi , atunci următoarea inegalitate este valabilă : $\alfa$ $n>1$ $p$ $q$ $(q\neq 0)$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}

unde este o constantă pozitivă care depinde numai de și este exprimată explicit în termeni de cantități conjugate. $C$ $\alfa$ $\alfa$

Cu această teoremă, Liouville a construit mai întâi exemple de numere transcendentale . Un astfel de număr este, de exemplu, numărul reprezentat lângă termeni în scădere rapidă, de exemplu

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!)}}.

Generalizări

Pentru , teorema lui Liouville dă un rezultat de neîmbunătățit. Căci teorema lui Liouville a fost întărită în mod repetat. $n=2$ $n\ge 3$

În 1909, Thue a stabilit că pentru numerele algebrice de grad și inegalitatea $\alfa$ $n$ $\nu >{\frac {n}{2}}+1$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu ))}

(*)

Siegel a îmbunătățit rezultatul lui Thue arătând că ultima inegalitate este valabilă

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s \dreapta)

, unde este un număr întreg,

s

în special, la . Mai târziu, F. Dyson a dovedit validitatea acestei inegalități pentru . În cele din urmă, K. Roth a stabilit că inegalitatea (*) este valabilă pentru orice . Rezultatul lui K. Roth este cel mai bun de acest gen, deoarece orice număr irațional , algebric sau nu, are infinite aproximări raționale care satisfac inegalitatea $\nu >2{\sqrt {n}}$ $\nu >{\sqrt {2n)}$ $\nu >2$ $\xi$ $p/q$

\left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2)}}

Toate întăririle teoremei lui Liouville menționate mai sus au un dezavantaj semnificativ - sunt ineficiente și anume: metodele demonstrației lor nu permit să se stabilească modul în care constanta inegalității depinde de mărimile și . $C=C(\alpha ,\;\nu )$ $\alfa$ $\nu$

Vezi și

Numărul Liouville

Link -uri

Mihai Filaseta. Începutul numerelor transcendentale