Teorema lui Liouville asupra funcțiilor analitice întregi mărginite

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teorema lui Liouville asupra funcțiilor analitice întregi mărginite: dacă o întreagă funcție de variabile complexe este mărginită, adică, $f(z)$ $z=(z_{1},\dots,z_{n})$

|f(z)|\leqslant M<\infty ,

adică o constantă. $f(z)$

Generalizări

If este o funcție întreagă în , și pentru unii $f(z)$ ${\mathbb C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

adică un polinom în variabile de grad cel mult .

f(z)

(z_{1},\dots ,z_{n})

r

Dacă este o funcție armonică reală în întreg spațiul numeric , $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

u(x)<C(1+|x|^{r}),

adică un polinom armonic în variabile.

u(x)

Istorie

Această propoziție, una dintre cele fundamentale în teoria funcțiilor analitice , se pare că a fost publicată pentru prima dată în 1844 de Cauchy pentru acest caz . Liouville a expus-o în prelegeri în 1847 , de unde și numele. $n=1$

Dovada (pentru cazul ) ${\mathbb C}^{1}$

Fie mărginită pe planul complex , i.e. $f(z)$

\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

Folosim formula integrală de Cauchy pentru derivată : $f(z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi ,

unde este un cerc de rază care conține punctul , sau . $C_{R}$ $R$ $z$ $|\xi -z|=R$

Avem

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Prin urmare, datorită faptului că formula integrală Cauchy este valabilă pentru orice contur, avem , și , prin urmare, și, prin urmare, este o constantă. Teorema a fost demonstrată. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ $f'(z)=0$ $f(z)$