Formula integrală Cauchy

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Formula integrală a lui Cauchy este o relație pentru funcțiile holomorfe ale unei variabile complexe care raportează valoarea unei funcții într-un punct cu valorile sale de pe conturul care înconjoară punctul.

Această formulă exprimă una dintre cele mai importante trăsături ale analizei complexe : valoarea în orice punct din regiune poate fi determinată prin cunoașterea valorilor de la limita sa.

Formulare

Fie un domeniu pe plan complex cu graniță netedă pe bucăți , fie funcția să fie holomorfă în și să fie un punct în interiorul domeniului . Atunci următoarea formulă Cauchy este valabilă: $D$ $\Gamma=\partial D$ $f(z)$ $\overline {D}$ $z_{0}$ $D$

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz.

Formula este valabilă și dacă presupunem că este holomorfă în interior și continuă pe închidere și, de asemenea, dacă limita nu este netedă pe bucăți, ci doar rectificabilă . $f(z)$ $D$ $D$

Dovada

Se consideră un cerc de rază suficient de mică centrat în punctul . $S_{\rho }$ $\rho$ $z_{0}$

În zona delimitată de contururile și (adică formată din punctele zonei , cu excepția punctelor din interiorul ), integrandul nu are singularități, iar prin teorema integrală a lui Cauchy, integrala acestuia peste limita acestei zone. este egal cu zero. Asta înseamnă că, indiferent de ce avem egalitate $\Gamma$ $S_{\rho }$ $D$ $S_{\rho }$ $\rho$

\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac { f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.

Pentru a calcula integralele peste aplicam parametrizarea . $S_{\rho }$ $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi},\\varphi \in [0;\;2\pi ]$

Mai întâi, demonstrăm separat formula Cauchy pentru cazul : $f(z)=1$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\ varphi }\,d\varphi =1.

Să-l folosim pentru a demonstra cazul general:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz- f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}} }\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz.

Deoarece funcția este diferențiabilă complexă în punctul , atunci $f(z)$ $z_{0}$

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).

Integrala lui este egală cu zero: $f'(z_{0})$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.

Integrala termenului poate fi făcută arbitrar mică pentru . Dar din moment ce nu depinde deloc de, înseamnă că este egal cu zero. Drept urmare, obținem asta $o(1)$ $\rho \to 0$ $\rho$

{\frac {1}{2\pi i)}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0)}}\,dz-f(z_ {0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz=0.

Consecințele

Formula Cauchy are o mulțime de consecințe diferite. Aceasta este teorema cheie a tuturor analizelor complexe. Iată câteva dintre implicațiile sale:

Analiticitatea funcțiilor holomorfe

În vecinătatea oricărui punct din regiunea în care funcția este holomorfă, aceasta coincide cu suma unei serii de puteri : $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}

în plus, raza sa de convergență nu este mai mică decât raza cercului centrat în punctul în care funcția este holomorfă, iar coeficienții pot fi calculați folosind formule integrale: $z_{0}$ $f(z)$ $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\ ,dz

Aceste formule implică inegalitățile lui Cauchy pentru coeficienții funcțiilor holomorfe din disc : $c_n$ ${|z-z_{0}|<r}$

c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)

unde este modulul maxim al funcției pe cerc , iar dintre ele este teorema lui Liouville asupra funcțiilor analitice întregi mărginite : dacă o funcție este holomorfă în întregul plan complex și mărginită, este o constantă. $Domnul)$ $f(z)$ ${|z-z_{0}|=r}$

În plus, prin combinarea formulelor pentru coeficienți cu teorema privind holomorfia sumei unei serii de puteri cu rază de convergență diferită de zero și formula care exprimă coeficienții seriei de puteri în termeni de derivate ale sumei sale.

c_{n}={{f^{{(n)}}(z_{0})} \over n!}

se obține o reprezentare integrală a derivatelor funcției : $f(z)$

f^{{(n)}}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\,dz.

Estimările derivate similare cu inegalitățile Cauchy dau o teoremă asupra echicontinuității unei familii de funcții holomorfe într-un domeniu mărginit dacă această familie este mărginită uniform în . În combinație cu teorema Arzela-Ascoli , obținem teorema Montel compactă a familiei de funcții : din orice familie uniform mărginită de funcții care sunt holomorfe într-un domeniu mărginit , se poate selecta o secvență de funcții care converge uniform către o funcție holomorfă. $D$ $D$ $D$ $D$

Reprezentabilitatea funcțiilor holomorfe după seria Laurent în domenii inelare

Dacă o funcție este holomorfă într-un domeniu de forma , atunci ea poate fi reprezentată în ea prin suma unei serii Laurent : $f(z)$ $D$ $\{r<|z-z_{0}|<R\}$

f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},

în plus, coeficienții pot fi calculați prin formule integrale: $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\, dz,

iar seria Laurent în sine converge într -o funcție uniform pe fiecare set compact din . $D$ $f(z)$ $D$

Formula pentru coeficient este adesea aplicată pentru a calcula integralele unei funcții pe diferite contururi folosind metode algebrice și teoria reziduurilor . $c_{{-1}}$ $f(z)$

Clasificarea punctelor singulare izolate ale funcțiilor holomorfe se realizează și în termenii seriei Laurent .

Teoreme ale valorii medii pentru funcțiile holomorfe

Dacă funcția este holomorfă în cerc , atunci pentru fiecare $f(z)$ $\{|z-z_{0}|<R\}$ $r\,(0<r<R)$

f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\, d\varphi ,

și, de asemenea, dacă este un cerc de rază centrat pe , atunci $B_{r}$ $r$ $z_{0}$

f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.

Din teoremele valorii medii urmează principiul modulului maxim pentru funcțiile holomorfe: dacă o funcție este holomorfă într-un domeniu și în interiorul modulului său are un maxim local , atunci această funcție este o constantă. $f(z)$ $D$ $D$

Principiul maxim al modulului implică principiul maxim pentru părțile reale și imaginare ale unei funcții holomorfe: dacă o funcție este holomorfă într-un domeniu și în interiorul părții sale reale sau imaginare are un maxim sau un minim local, atunci această funcție este o constantă. $f(z)$ $D$ $D$

Teoreme de unicitate

Din principiul modulului maxim și reprezentabilitatea funcțiilor holomorfe prin serii de puteri rezultă încă trei rezultate importante:

Lema lui Schwarz : dacă o funcție este holomorfă într-un cerc și pentru toate punctele din acest cerc , atunci peste tot în acest cerc ; $f(z)$ ${|z|<1}$ $f(0)=0$ $z$ $|f(z)|\leqslant 1$ $|f(z)|\leqslant |z|$
teorema de unicitate pentru seria de puteri : funcțiile holomorfe care au aceeași serie Taylor într-un punct coincid într-o vecinătate a acelui punct; $z_{0}$
Teorema nulă pentru o funcție holomorfă : dacă zerourile unei funcții holomorfe într-un domeniu au un punct limită în interior , atunci funcția dispare peste tot în . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Link -uri

Weisstein, Eric W. Cauchy Integral Formula la Wolfram MathWorld .
Modulul de formulă integrală Cauchy de John H. Mathews

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.