Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale

Teorema numerelor poligonale a lui Fermat afirmă că orice număr natural este reprezentabil ca sumă a cel mult numere -gonale . $n$ $n$

Exemple

Exemple de împărțire a numerelor naturale de la 1 la 30 în conformitate cu teorema lui Fermat [1] :

Număr	Suma a nu mai mult de trei numere triunghiulare	Suma a nu mai mult de patru numere pătrate	Suma a nu mai mult de cinci numere pentagonale
unu	unu	$unu$	unu
2	1+1	1+1	1+1
3	3	1+1+1	1+1+1
patru	3+1	$2^{2}$	1+1+1+1
5	3+1+1	$2^{2}+1$	5
6	6	$2^{2}+1+1$	5+1
7	6+1	$2^{2}+1+1+1$	5+1+1
opt	6+1+1	$2^{2}+2^{2}$	5+1+1+1
9	6+3	$3^{2}$	5+1+1+1+1
zece	zece	$3^{2}+1$	5+5
unsprezece	10+1	$3^{2}+1+1$	5+5+1
12	6+6	$2^{2}+2^{2}+2^{2}$	12
13	10+3	$3^{2}+2^{2}$	12+1
paisprezece	10+3+1	$3^{2}+2^{2}+1$	12+1+1
cincisprezece	cincisprezece	$3^{2}+2^{2}+1+1$	5+5+5
16	15+1	$4^{2}$	5+5+5+1
17	10+6+1	$4^{2}+1$	12+5
optsprezece	15+3	$3^{2}+3^{2}$	12+5+1
19	10+6+3	$3^{2}+3^{2}+1$	12+5+1+1
douăzeci	10+10	$4^{2}+2^{2}$	5+5+5+5
21	21	$4^{2}+2^{2}+1$	5+5+5+5+1
22	21+1	$3^{2}+3^{2}+2^{2}$	22
23	10+10+3	$3^{2}+3^{2}+2^{2}+1$	22+1
24	21+3	$4^{2}+2^{2}+2^{2}$	12+12
25	15+10	$5^{2}$	12+12+1
26	15+10+1	$5^{2}+1$	12+12+1+1
27	21+6	$5^{2}+1+1$	22+5
28	28	$5^{2}+1+1+1$	22+5+1
29	28+1	$5^{2}+2^{2}$	12+12+5
treizeci	15+15	$5^{2}+2^{2}+1$	12+12+5+1

Istorie

Teorema este numită după Pierre Fermat , care a prezentat această afirmație în 1638 fără dovezi, dar a promis că o va prezenta într-o lucrare separată, care nu a apărut niciodată [2] . În 1770 Lagrange a demonstrat această teoremă pentru numere pătrate [2] . Gauss a demonstrat teorema numerelor triunghiulare în 1796. Tânărul Gauss și-a însoțit descoperirea cu o înregistrare în jurnal: " Eureka !" [3] și a publicat dovada în cartea Investigații aritmetice . Acest rezultat al lui Gauss este cunoscut sub numele de „teorema Eureka” [4] Cauchy a demonstrat teorema complet în 1813. [2] Următoarele dovezi se bazează pe lemele demonstrate de Cauchy [5] .

Cazuri speciale

Cele mai interesante sunt carcasele pătrate și triunghiulare . Teorema sumei de patru pătrate a lui Lagrange , împreună cu teorema de trei pătrate a lui Legendre, rezolvă problema lui Waring pentru . Și în cazul numerelor triunghiulare, înlocuirea pătratului cu un polinom pătrat vă permite să reduceți numărul necesar de termeni. $m=n^{2}$ $m={\frac {n(n+1)}{2))$ $n=2$

Note

↑ Violant-y-Holtz, Albert. Misterul fermei. O provocare de trei secole pentru matematică. - M. : De Agostini, 2014. - S. 146. - 160 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
↑ 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria; a history of Greek algebra , Cambridge University Press, p. 188 , < https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala > .
^ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, în Newman, James R., The World of Mathematics , vol. I, Simon & Schuster , p. 295–339 . Retipărire Dover, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
↑ Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), Despre reprezentarea numerelor întregi ca sume de numere triunghiulare , Aequationes Mathematicae T. 50 (1–2): 73–94 , DOI 10.1007/BF01831114 .
↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number theorem , Proceedings of the American Mathematical Society vol . 99 (1): 22–24 , DOI 10.2307/2046263

Link -uri

Weisstein, Teorema numerelor poligonale a lui Eric W. Fermat (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Nathanson, Melvyn B. (1996), Teoria numerelor aditive The Classical Bases , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Conține demonstrația teoremei lui Lagrange și a teoremei numerelor poligonale.