Numere ondulate

Numerele figurate sunt numere care pot fi reprezentate folosind forme geometrice. Acest concept istoric se întoarce la pitagoreeni , care au dezvoltat algebra pe o bază geometrică și au reprezentat orice număr întreg pozitiv ca o mulțime de puncte într-un plan [1] . Expresiile „pătrat un număr” sau „cub” [2] au rămas un ecou al acestei abordări .

În mod tradițional, există două clase principale de numere ondulate [3] :

Numerele poligonale plate sunt numere asociate unui anumit poligon. Ele sunt împărțite în clasice și centrate .
Numerele poliedrice spațiale sunt numere asociate unui anumit poliedru .

La rândul său, fiecare clasă de numere figurative este împărțită în varietăți , fiecare fiind asociată cu o anumită figură geometrică: triunghi, pătrat, tetraedru etc.

Există, de asemenea, generalizări ale numerelor ondulate la spații multidimensionale . În antichitate, când aritmetica nu era separată de geometrie, se luau în considerare mai multe tipuri de numere figurative, care nu sunt folosite în prezent .

În teoria numerelor și combinatorică , numerele figurative sunt asociate cu multe alte clase de numere întregi - coeficienți binomi , numere perfecte , numere Mersenne , numere Fermat , numere Fibonacci , numere Lucas și altele [4] .

Numerele poligonale clasice

Pentru concizie, în această secțiune, numerele poligonale clasice sunt denumite pur și simplu „numere poligonale”.

Definiție geometrică

Numerele poligonale sunt o succesiune care indică numărul de puncte, construită după regulile pe care le vom ilustra folosind exemplul unui heptagon. Seria numerelor heptagonale începe cu 1 (punctul de bază), apoi vine 7, deoarece 7 puncte formează un heptagon obișnuit , se adaugă 6 puncte. Al treilea număr corespunde unui heptagon ale cărui laturi conțin deja nu două, ci trei puncte și se iau în considerare și toate punctele construite în pașii anteriori. Din figură se poate observa că a treia cifră conține 18 puncte, creșterea (Pitagora a numit-o „ gnomon ”) a fost de 11 puncte. Este ușor de observat că adunările formează o progresie aritmetică , în care fiecare termen este cu 5 mai mult decât cel anterior [5] .

Trecând la un -gon general, putem concluziona că la fiecare pas numărul de puncte corespunzător numărului figurat crește ca suma unei progresii aritmetice [5] cu primul termen 1 și diferența. $k$ $k-2.$

Definiție algebrică

Definiția generală a unui număr k -cărbune pentru oricare rezultă din construcția geometrică prezentată mai sus. Poate fi formulat astfel [6] : $k \geqslant 3$

$n$ Numărul al- lea în ordinea k -cărbune este suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice , în care primul termen este egal cu 1, iar diferența este egală cu $P_{n}^{(k))$ $n$ $k-2.$

De exemplu, numerele triunghiulare sunt obținute ca sume parțiale ale seriei , iar numerele patrulatere (pătrate) corespund seriei $1+2+3+4\dots$ $1+3+5+7\dots$

Sirul de numere k -gonale are forma [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\dots

Formula generală pentru calculul explicit al ordinului al treilea al numărului k -cărbune poate fi obținută prin reprezentarea acestuia ca sumă a unei progresii aritmetice [8] : $n$ $P_{n}^{(k))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

În unele surse, succesiunea de numere ondulate începe de la zero (de exemplu, în A000217 ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots

În acest caz, în formula generală pentru aceasta este permisă În acest articol, numerele figurative sunt numerotate începând de la unu, iar seria extinsă este special specificată. $P_{n}^{(k))$ $n=0.$

Există, de asemenea, o formulă recursivă pentru calcularea unui număr poligonal [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cazuri}}

Odată cu creșterea numărului de laturi cu una, numerele figurative corespunzătoare se schimbă conform formulei Nicomah [9] : $k$

P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3))

, unde .

n>1

(Nicomachus)

Deoarece depinde liniar de formula este valabilă: $P_{n}^{(k))$ $k,$

P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k))

, unde .

s=0,1,2\dots k-3

Cu alte cuvinte, fiecare număr poligonal este media aritmetică a numerelor poligonale distanțate egal de el cu același număr. $k$

Dacă este un număr prim , atunci al doilea număr de cărbune, egal cu , este de asemenea prim; aceasta este singura situație în care un număr poligonal este prim, la care se poate ajunge prin scrierea formulei generale în următoarea formă: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Dovada: fie Dacă este par, atunci numărul ondulat este divizibil cu , iar dacă este impar, atunci este divizibil cu . În ambele cazuri, numărul figurat se dovedește a fi compus [10] . $n>2.$ $n$ ${\textstyle {\frac {n}{2))}$ ${\textstyle {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Serii de numere poligonale inverse

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k))}}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\dots +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\dots

converge. Suma lor poate fi reprezentată ca unde este constanta Euler-Mascheroni , este funcția digamma [11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Contur istoric

Numerele figurate, potrivit pitagoreenilor , joacă un rol important în structura universului. Prin urmare, mulți matematicieni de seamă ai antichității au fost angajați în studiul lor: Eratosthenes , Hypsicles , Diophantus din Alexandria , Theon din Smirna și alții. Hypsicles (secolul al II-lea î.Hr.) a dat o definiție generală a numărului de cărbune ca fiind suma membrilor unei progresii aritmetice , în care primul membru este , iar diferența este . Diophantus a scris un studiu amplu „Despre numerele poligonale” (secolul al III-lea d.Hr.), din care fragmente au supraviețuit până în zilele noastre. Definiția lui Hypsicles este dată în cartea lui Diophantus sub următoarea formă [12] [13] : $k$ $P_{n}^{(k))$ $n$ $unu$ $k-2$

Dacă luăm câteva numere, începând de la unu, având aceleași diferențe, atunci suma lor, dacă diferența este una, va fi un triunghi, dacă două, atunci un patrulater, iar dacă trei, un pentagon. Numărul de colțuri este determinat de diferența mărită cu doi, iar latura este determinată de numărul de numere luate, numărând și unu.

Despre numerele figurate se vorbește mult în manualele pitagorice de aritmetică, create de Nicomachus din Gheraz și Theon din Smirna (secolul II), care au stabilit o serie de dependențe între numerele figurate de dimensiuni diferite. Matematicienii indieni și primii matematicieni ai Europei medievale ( Fibonacci , Pacioli , Cardano etc.) au manifestat un mare interes pentru numerele figurative [14] [4] .

În vremurile moderne, Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss și alții s-au ocupat de numere poligonale . În septembrie 1636 [15] Fermat a formulat într-o scrisoare către Mersenne o teoremă care astăzi se numește teorema numerelor poligonale a lui Fermat [14] :

Am fost primul care a descoperit o teoremă foarte frumoasă și destul de generală că fiecare număr este fie triunghiular, fie suma a două sau trei numere triunghiulare; fiecare număr este fie pătrat, fie este suma a două, trei sau patru pătrate; sau pentagonală, sau este suma a două, trei, patru sau cinci numere pentagonale și așa mai departe la infinit, fie pentru numere hexagonale, heptagonale sau poligonale. Nu pot da aici o dovadă care să depindă de multele și complicatele mistere ale numerelor, pentru că intenționez să dedic o carte întreagă acestui subiect și să obțin, în această parte a aritmeticii, progrese uluitoare peste limitele cunoscute anterior.

Contrar promisiunii sale, Fermat nu a publicat niciodată o dovadă a acestei teoreme, pe care într-o scrisoare către Pascal (1654) a numit-o principala sa realizare în matematică [15] . Mulți matematicieni remarcabili s-au ocupat de problemă - în 1770 Lagrange a demonstrat o teoremă pentru numerele pătrate ( teorema lui Lagrange asupra sumei a patru pătrate ), în 1796 Gauss a dat o demonstrație pentru numerele triunghiulare. O demonstrație completă a teoremei a fost dată de Cauchy în 1813 [16] [17] .

Varietăți de numere poligonale clasice

Numere triunghiulare

Succesiunea numerelor triunghiulare :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, O … ( secvența A00021 )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Proprietăți [18] :

Paritatea unui element de secvență se modifică cu o perioadă de 4: impar, impar, par, par. Niciun număr triunghiular nu se poate termina (în notație zecimală) cu numerele 2, 4, 7, 9 [19] .

Pentru concizie, notăm al- lea număr triunghiular: Atunci formulele recursive sunt valide: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Formula lui Bacher de Meziriac : Formula generală pentru un număr poligonal poate fi transformată astfel încât să arate expresia oricărui număr poligonal în termeni de număr triunghiular:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(basche)

Suma a două numere triunghiulare consecutive dă un pătrat complet ( număr pătrat ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale implică faptul că orice număr natural poate fi reprezentat ca o sumă a cel mult trei numere triunghiulare.

Suma unei serii finite de numere triunghiulare se calculează prin formula:

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

O serie de reciproce de numere triunghiulare ( seria telescopică ) converge [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Numerele triunghiulare dublate dau o succesiune (definită mai jos ) de numere dreptunghiulare .

Un număr natural este triunghiular dacă și numai dacă numărul este pătrat [21] . $N$ $8N+1$

Cunoscut în misticism „ numărul fiarei ” (666) este al 36-lea triunghiular. Este cel mai mic număr triunghiular care poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate de numere triunghiulare [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

Numerele triunghiulare formează a treia linie diagonală a triunghiului lui Pascal .

Numere pătrate


$0+\color {albastru}1\color {negru}=1$	$1+\color {albastru}3\color {negru}=4$	$4+\color {albastru}5\color {negru}=9$	$9+\color {albastru}7\color {negru}=16$

Numerele pătrate sunt produsul a două numere naturale identice, adică sunt pătrate perfecte:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (secvența A00IS 290 ) .

n^{2}

Fiecare număr pătrat, cu excepția unuia, este suma a două numere triunghiulare consecutive [23] :

n^{2}=T_{n-1}+T_{n)

. Exemple: etc.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Suma unui număr pătrat precedat de un număr triunghiular dă un număr pentagonal :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Această teoremă a fost publicată pentru prima dată de Nicomachus (" Introducere în aritmetică ", secolul II) [24] .

Suma pătratelor primelor numere naturale se calculează prin formula [25] : $n$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

O serie de numere pătrate inverse converg [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Fiecare număr natural poate fi reprezentat ca suma a cel mult patru pătrate ( teorema Lagrange a sumei celor patru pătrate ).

Identitatea Brahmagupta-Fibonacci : produsul dintre suma a două numere pătrate și orice altă sumă a două numere pătrate este el însuși reprezentabil ca suma a două numere pătrate.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Deoarece al doilea termen din dreapta poate fi egal cu zero, aici ar trebui să se ia în considerare o serie extinsă de numere pătrate, începând nu de la 1, ci de la zero (vezi A000290 ).

Exemplu:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Numere pentagonale

Secvența de numere pentagonale arată astfel:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( OEIS secvența ) .

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Numerele pentagonale sunt strâns legate de cele triunghiulare [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

După cum am menționat mai sus, un număr pentagonal, începând cu al 2-lea număr, poate fi reprezentat ca suma unui pătrat și a unui număr triunghiular:

P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1)

Dacă specificați pentru o secvență mai generală în formulă : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots

atunci obținem numere pentagonale generalizate :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ( secvența OEIS A001318 ).

Leonhard Euler a descoperit numere pentagonale generalizate în următoarea identitate :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Puterile din partea dreaptă a identității formează o succesiune de numere pentagonale generalizate [27] . $X$

Numere hexagonale 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( secvența OEIS 4 ) .

2n^{2}-n

Secvența numerelor hexagonale se obține din șirul numerelor triunghiulare prin ștergerea elementelor cu numere pare [28] : . $P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3))$

Un număr natural este hexagonal dacă și numai dacă numărul este natural . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Numere heptagonale Numere octogonale Numerele dodecagonale

Numerele dodecagonale se calculează cu formula : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, secvența OE 5162 …

În sistemul zecimal , al -lea număr dodecagonal se termină în aceeași cifră cu numărul însuși . Aceasta rezultă din comparaţia evidentă : de unde obţinem: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10)}$

Determinarea dacă un număr dat este poligonal

Problema 1 (problema lui Diophantus): dat un număr natural . Determinați dacă este un număr poligonal și, dacă da, pentru care și . Diophantus a formulat această problemă astfel: „ aflați de câte ori apare un număr dat între toate numerele poligonale posibile ” [29] . $N>2$ $P_{n}^{(k))$ $k$ $n$

Rezolvarea problemei se reduce la soluția „ ecuației diofantine ” (vezi formula generală ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

sau: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Să rescriem ecuația rezultată sub forma: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Numitorii fracțiilor din dreapta sunt relativ primi ; suma sau diferența unor astfel de fracții poate fi un număr întreg numai dacă fiecare fracție este un număr întreg [30] , deci este un multiplu al lui , dar un multiplu al lui . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Ca rezultat, algoritmul de soluție ia următoarea formă [29] :

Scrieți toți divizorii naturali ai numărului (inclusiv el însuși ). $2N$ $unu$ $2N$
Notați toți divizorii naturali ai numărului . $2N-2$
Selectați din primul set acele numere care sunt mai mari decât orice număr din al doilea set. Aceste numere se potrivesc . $unu$ $n$
Pentru fiecare selectat , calculați . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Ștergeți perechile în care . $(n,\;k)$ $k<3$

Atunci toate numerele corespunzătoare perechilor rămase sunt egale . $P_{n}^{(k))$ $N$

Exemplul [29] . Lasă . $N=105$

Divizoare . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Divizoare . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Selectie . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
În consecință . Ultima valoare trebuie eliminată. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Răspuns: poate fi reprezentat ca , adică al 2-lea număr de 105 unghi, al 3-lea unghi de 36, al 5-lea număr de 12 unghi și al 14-lea număr de 14 unghi. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14) )}$

Sarcina 2 : dat un număr natural , trebuie să determinați dacă este un număr de cărbune . Spre deosebire de sarcina 1, aici este dat. $N>2,$ $k$ $P_{n}^{(k))$ $k$

Pentru soluție, puteți folosi identitatea lui Diophantus [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Această identitate se obține din formula generală $P_{n}^{(k))$ de mai sus și este echivalentă cu aceasta. Soluția rezultă din identitate: dacă există un număr -cărbune, adică pentru unii , atunci există un număr pătrat , și invers. În acest caz, numărul se găsește prin formula [31] : $N$ $k$ $N=P_{n}^{(k))$ $n,$ $8(k-2)N+(k-4)^{2)$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4)}}

Exemplul [31] . Să stabilim dacă numărul are 10 fețe. Valoarea aici este egală, deci răspunsul este da. de aceea este al 20-lea număr cu 10 unghiuri. $1540$ $8(k-2)N+(k-4)^{2)$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Funcție de generare

Seria de puteri , ai cărei coeficienți sunt numere de cărbune, converge la : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

Expresia din dreapta este funcția generatoare pentru șirul numerelor -cărbune [32] . $k$

Aparatul de generare a funcţiilor face posibilă aplicarea metodelor de analiză matematică în teoria numerelor şi combinatorică . Formula de mai sus explică și apariția numerelor -cărbune printre coeficienții seriei Taylor pentru diferite fracții raționale. Exemple: $k$

La : ;

k=3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\dots }

La : ;

k=4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\dots }

La :

k=5

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\dots }

etc.

Pentru unele clase de numere poligonale, există funcții generatoare specifice. De exemplu, pentru numerele triunghiulare pătrate , funcția generatoare are următoarea formă [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots$

{\textstyle {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\dots }

; seria converge la .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Numerele poligonale clasice din mai mult de o varietate

Există un număr infinit de numere „multi-figurate” (sau „multi-poligonale”) [34] , adică numere care aparțin simultan mai multor varietăți diferite de numere ondulate. De exemplu, există numere triunghiulare care sunt și pătrate (" numere triunghiulare pătrate ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots

(secvența A001110 în OEIS ).

Numărul triunghiular poate fi și în același timp

pentagonală (secvența A014979 în OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315682646;

hexagonale (toate numerele triunghiulare cu un număr impar);
heptagonal (secvența A046194 în OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921341979241, 18793835590881

etc. Nu se știe dacă există numere care sunt simultan triunghiulare, pătrate și pentagonale; un test computerizat de numere mai mici decât acesta nu a scos la iveală niciun astfel de număr, dar nu s-a dovedit că nu există [34] . $10^{22166},$

Un număr pătrat poate fi în același timp

pentagonală (secvența A036353 în OEIS ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801…

hexagonal (secvența A046177 în OEIS ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 289328451017384103…,

heptagonală (secvența A036354 în OEIS ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

etc.

Un număr pentagonal poate fi simultan:

hexagonal (secvența A046180 în OEIS ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

heptagonal (secvența A048900 în OEIS ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757...

etc.

Un număr hexagonal este în mod necesar și triunghiular; poate fi și heptagonal în același timp (secvența A48903 în OEIS ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Sunt posibile și alte combinații de trei sau mai multe tipuri de numere figurative. De exemplu, după cum s-a dovedit mai sus , numărul vine în patru varietăți: Pentru o listă completă a unor astfel de combinații de la numere triunghiulare la numere cu 16-gonale, consultați secvența A062712 în OEIS . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105 )}.$

Tabel pivot

k	Varietate de numere ondulate	Formula generala	n										Suma reciprocelor [36]	Numărul OEIS
k	Varietate de numere ondulate	Formula generala	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	Suma reciprocelor [36]	Numărul OEIS
3	triunghiular	unu2( n 2 + n )	unu	3	6	zece	cincisprezece	21	28	36	45	55	2	A000217
patru	pătrat	unu2( 2n2 − 0n ) = n2 _	unu	patru	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	pentagonal	unu2(3 n 2 − n )	unu	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	hexagonal	unu2( 4n2 − 2n ) _	unu	6	cincisprezece	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	heptagonală	unu2( 5n2 − 3n ) _	unu	7	optsprezece	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} {2}}\dreapta)$	A000566
opt	octogonală	unu2( 6n2 − 4n ) _	unu	opt	21	40	65	96	133	176	225	280	3patruln 3 + $\pi$ √ 312	A000567
9	neunghiulară	unu2( 7n2 − 5n ) _	unu	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operatorname {tg} {\tfrac {3\pi }{14)})$	A001106 A244646
zece	decagonală	unu2( 8n2 − 6n ) _	unu	zece	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2 + $\pi$ 6	A001107
unsprezece	11-cărbune	unu2( 9n2 − 7n ) _	unu	unsprezece	treizeci	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-cărbune	unu2( 10n2 − 8n ) _	unu	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-cărbune	unu2( 11n2 − 9n ) _	unu	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
paisprezece	14-cărbune	unu2( 12n2 − 10n ) _	unu	paisprezece	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2 +3zeceln 3 + $\pi$ √ 3zece	A051866
cincisprezece	15-cărbune	unu2( 13n2 − 11n ) _	unu	cincisprezece	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-cărbune	unu2( 14n2 − 12n ) _	unu	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-cărbune	unu2( 15n2 − 13n ) _	unu	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
optsprezece	18-cărbune	unu2( 16n2 − 14n ) _	unu	optsprezece	51	100	165	246	343	456	585	730	patru7jurnalul 2 -√2 _paisprezecelog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )paisprezece	A051870
19	19-cărbune	unu2( 17n2 − 15n ) _	unu	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
douăzeci	octogonală	unu2( 18n2 − 16n ) _	unu	douăzeci	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-cărbune	unu2( 19n2 − 17n ) _	unu	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-cărbune	unu2( 998n2 − 996n ) _	unu	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10000	10000-cărbune	unu2(9998 n 2 − 9996 n )	unu	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Numere poligonale centrate

Definiție

Numerele unghiulare centrate ( ) sunt o clasă de numere formate obținute prin următoarea construcție geometrică. În primul rând, un anumit punct central este fixat pe plan. Apoi un k -gon regulat este construit în jurul lui cu puncte de vârf, fiecare latură conținând două puncte (vezi figura). În plus, noi straturi -gonuri sunt construite în exterior, iar fiecare dintre laturile lor de pe noul strat conține un punct mai mult decât în stratul anterior, adică, începând cu al doilea strat, fiecare strat următor conține mai multe puncte decât cel anterior. Numărul total de puncte din interiorul fiecărui strat și este luat ca număr poligonal centrat (punctul din centru este considerat stratul inițial) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Exemple de constructii de numere poligonale centrate:

triunghiular	Pătrat	Pentagonal	Hexagonal

Din construcție se poate observa că numerele poligonale centrate se obțin ca sume parțiale ale următoarelor serii: (de exemplu, numere pătrate centrate, pentru care formează o succesiune: ) Această serie poate fi scrisă ca , din care se poate vedea că în paranteze este o serie generatoare pentru numere triunghiulare clasice (vezi Fig. de mai sus ). Prin urmare, fiecare succesiune de numere unghiulare centrate, începând de la al 2-lea element, poate fi reprezentată ca , unde este o succesiune de numere triunghiulare. De exemplu, numerele pătrate centrate sunt numere triunghiulare cvadruple plus , seria generatoare pentru ele este: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ $1,5,13,25,41\dots$ $1+k(1+2+3+4+\dots )$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\dots )$ $unu$ $1+4+8+12\dots$

Din formula de mai sus pentru numere triunghiulare, se poate exprima formula generală pentru al- lea număr -gonal centrat [38] : $n$ $k$ $C_{n}^{(k))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\dots }

(OCF)

Funcția generatoare pentru numere poligonale centrate are forma [39] :

{\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Varietăți de numere poligonale centrate

Numere triunghiulare centrate

$n$ Al-lea număr triunghiular centrat în ordine este dat de formula:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Consecință (pentru ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

Primele elemente ale succesiunii de numere triunghiulare centrate sunt:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571…, ( secvența OEIS A005448 ).

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Unele proprietăți [40]

Fiecare număr triunghiular centrat, începând cu 10, este suma a trei numere triunghiulare clasice consecutive: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Se poate observa din consecința formulei generale că fiecare număr triunghiular centrat , atunci când este împărțit la 3, dă un rest de 1, iar câtul (dacă este pozitiv) este numărul triunghiular clasic . $C_{n}^{(3))$ $T_{n-1)$
Unele numere triunghiulare centrate sunt prime [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … (secvența A125602 în OEIS ).

Numere pătrate centrate

unu		5		13		25

$n$ Al-lea număr centrat în 4 unghiuri (pătrat) este dat de formula:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

Primele elemente ale succesiunii de numere pătrate centrate sunt:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761…, ( secvența A001844 ) .

n^{2}+(n-1)^{2}\dots

Unele proprietăți [41]

După cum se poate observa din formula generală , un număr pătrat centrat este suma a două pătrate consecutive.
Toate numerele pătrate centrate sunt impare, iar ultima cifră din reprezentarea lor zecimală se modifică într-un ciclu: 1-5-3-5-1.
Toate numerele pătrate centrate și divizorii lor lasă un rest de 1 când sunt împărțite la 4, iar când sunt împărțite la 6, 8 sau 12 dau un rest de 1 sau 5.
Toate numerele pătrate centrate, cu excepția lui 1, reprezintă lungimea ipotenuzei într-unul dintre triplele pitagoreice (de ex. 3-4-5, 5-12-13). Astfel, fiecare număr pătrat centrat este egal cu numărul de puncte dintr-o anumită distanță, în blocuri, de la punctul central de pe grila pătrată.
Diferența dintre două numere octogonale clasice succesive este un număr pătrat centrat.
Unele numere pătrate centrate sunt prime (după cum se arată mai sus, numerele pătrate clasice, începând cu al treilea în ordine, sunt evident compuse). Exemple de numere pătrate centrate simple:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521 , 3613 , sec . Numere pentagonale centrate

$n$ Al-lea număr pentagonal centrat în ordinea este dat de formula:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Mai multe numere pentagonale centrate:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 … , … 1 secvența OE05

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Paritatea numerelor pentagonale centrate se modifică conform regulii: par-par-impar-impar, iar ultima cifră zecimală se modifică într-un ciclu: 6-6-1-1.

Unele numere pentagonale centrate sunt prime [10] : 31, 181, 331, 391, 601 . . . (secvența A145838 în OEIS ).

Numere hexagonale centrate

$n$ Al-lea număr hexagonal centrat în ordinea este dat de formula:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Mai multe numere hexagonale centrate:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (secvența A003215 în OEIS ).

1+3n(n-1)

Unele proprietăți [42]

Ultima zecimală a numerelor hexagonale centrate se modifică într-un ciclu 1-7-9-7-1.
Suma primelor n numere hexagonale centrate este egală cu „ numărul cub ” . $n^3$
Egalitatea recursivă este adevărată: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Unele numere hexagonale centrate sunt prime [10] : 7, 19, 37, 61, 127… (secvența A002407 în OEIS ).

Numere heptagonale centrate

$n$ Al-lea număr heptagonal centrat în ordine este dat de formula . De asemenea, poate fi calculat prin înmulțirea unui număr triunghiular cu 7, adunând 1. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Mai multe numere heptagonale centrate:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (secvența A069099 în OEIS ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

Paritatea numerelor heptagonale centrate se modifică în ciclul impar-par-par-impar.

Unele numere heptagonale centrate sunt prime [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697... ( secvența OEIS A144974 ).

Există, de asemenea, numere heptagonale centrate incluse în perechi de numere prime gemene :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651... ( secvența OEIS A144975 ). Numere octogonale centrate

$n$ Al-lea număr octogonal centrat în ordine este dat de . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Mai multe numere octogonale centrate:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Unele proprietăți [43]

Toate numerele octogonale centrate sunt impare, iar ultima lor cifră zecimală se modifică într-un ciclu de 1-9-5-9-1.
Numărul octogonal centrat este același cu numărul pătrat impar clasic: cu alte cuvinte, un număr impar este un număr octogonal centrat dacă și numai dacă este pătratul unui număr întreg. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Din proprietatea anterioară rezultă că toate numerele octogonale centrate, cu excepția lui 1, sunt compuse.

Numere centrate non-hexagonale

$n$ Numărul cu nouă unghiuri centrat în ordinea este determinat de formula generală . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

Înmulțind al-lea număr triunghiular cu 9 și adăugând 1, obținem al-lea număr hexagonal centrat, dar există și o legătură mai simplă cu numerele triunghiulare - fiecare al treilea număr triunghiular (1, 4, 7 etc.) este, de asemenea, un centrat. număr non-agonal și în acest fel pot fi obținute toate numerele centrate neunghiulare. Notație formală: . $(n-1)$ $n$ $C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3))$

Primele numere centrate cu nouă unghiuri:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946... ( secvența OEIS A060544 ).

Cu excepția lui 6, toate numerele pare perfecte sunt, de asemenea, numere hexagonale centrate. În 1850, matematicianul amator Frederick Pollock a sugerat , ceea ce nu a fost încă dovedit sau infirmat, că orice număr natural este suma a maximum unsprezece numere centrate pe nouă-gonale [44] .

Din formula generală rezultă că toate numerele centrate cu nouă unghiuri, cu excepția lui 1, sunt compuse.

Numere decagonale centrate

$n$ Al-lea număr decagonal centrat este dat de formula . $5(n^{2}-n)+1$

Primii reprezentanți ai numerelor decagonale centrate:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051... ( secvența OEIS A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Ca și alte numere k -gonale, al --lea număr decagonal centrat poate fi calculat prin înmulțirea --lea număr triunghiular cu , în cazul nostru 10, apoi adunând 1. În consecință, numerele decagonale centrate pot fi obținute pur și simplu prin adăugarea lui 1 la reprezentarea zecimală a numărului. Astfel, toate numerele decagonale centrate sunt impare și se termină întotdeauna cu 1 în reprezentare zecimală. $n$ $(n-1)$ $k$

Unele dintre numerele decagonale centrate sunt prime, de exemplu:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3001, 3251, 5251, 52511, 52511, 46511, 46511, 52511, 52511, 46511, 46511, 46511, 52511, 52511, 52511, 52511, 52511, 46511, 52511, 46511, 46511, 52511, 46511, 52511, 52511, 5251, 5001, 5001 , 5001 , 5000

Numere poligonale, atât clasice, cât și centrate

Unele numere poligonale centrate coincid cu cele clasice, de exemplu: ; pentru concizie, vom numi astfel de numere poligonale duble . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Numere duble cu un parametru comun (număr de colțuri): identitatea [45] deține :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Numere triunghiulare duble cu diferite Exemplu: (secvența A128862 în OEIS ). Pentru a le găsi, trebuie să rezolvați ecuația diofantină :

k.

1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\dots

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

apoi . Cateva solutii:

P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\dots

(secvența A133161 în OEIS ), respectiv:

n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\dots

(secvența A102871 în OEIS ). 3. Numere pătrate clasice care sunt numere triunghiulare centrate. Ele sunt determinate de ecuația diofantină:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Apoi .

C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4))

Solutii:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots

(secvența A129445 în OEIS ), respectiv

n=1,2,7,16,65\dots

Primele numere sunt:

1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots

4. Triunghiular clasic, care sunt numere hexagonale centrate. Primele astfel de numere sunt: (secvența A006244 în OEIS ). Ele sunt determinate de ecuația diofantină:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Apoi .

P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6))

Solutii:

m=1,13,133,1321,13081\dots

(secvența A031138 în OEIS );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\dots

(secvența A087125, în OEIS ). 5. Numere pătrate clasice care sunt numere hexagonale centrate. Primele astfel de numere sunt: (secvența A006051 în OEIS ). Ele sunt determinate de ecuația diofantină:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Apoi .

P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6))

Solutii:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\dots

(secvența A001570 în OEIS );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\dots

(secvența A001921, în OEIS ).

Numerele figurative spațiale

Alături de numerele figurative considerate mai sus pentru figurile plane, se pot defini analogii lor spațiali sau chiar multidimensionali. Deja matematicienii antici au studiat numerele piramidale tetraedrice și pătrate. Este ușor să determinați numerele asociate cu piramidele , care se bazează pe orice alt poligon, de exemplu:

Numărul piramidei pentagonale .
Număr piramidal hexagonal .
Numărul piramidei heptagonale .

Alte varietăți de numere figurative spațiale sunt asociate cu poliedrele clasice .

Numerele piramidale

Numerele piramidale sunt definite după cum urmează:

$n$ Numărul piramidal din ordinea k -gonală este suma primelor numere figurative plate cu același număr de unghiuri : $\Pi _{n}^{(k))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ puncte +P_{n}^{(k)}

Din punct de vedere geometric, un număr piramidal poate fi reprezentat ca o piramidă de straturi (vezi figura), fiecare dintre ele conținând de la 1 (strat superior) la (inferior) bile. $\Pi _{n}^{(k))$ $n$ $P_{n}^{(k))$

Prin inducție, nu este dificil de demonstrat formula generală pentru numărul piramidal, care era deja cunoscută de Arhimede [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Partea dreaptă a acestei formule poate fi exprimată și în termeni de numere poligonale plate:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Există un analog tridimensional al formulei lui Nicomachus pentru numerele piramidale [47] :

\Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3))

Funcția generatoare a numerelor piramidale are forma [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Numere piramidale triunghiulare (tetraedrice)

Numerele piramidale triunghiulare, numite și numere tetraedrice , sunt numere figurative care reprezintă un tetraedru , adică o piramidă, la baza căreia se află un triunghi. Conform definiției generale de mai sus a numerelor piramidale, ordinea e a numărului tetraedric este definită ca suma primelor numere triunghiulare : $n-$ $n$

\Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n)

Formula generală pentru numărul tetraedric: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

Primele câteva numere tetraedrice:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969... ( secvența OEIS A000292 ).

Interesant este că al cincilea număr este egal cu suma tuturor celor anterioare.

Există un analog tridimensional al formulei Basche de Meziriac , și anume, extinderea unui număr piramidal arbitrar în cele tetraedrice [47] :

\Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3))

Cinci numere tetraedrice sunt triunghiulare în același timp (secvența A027568 în OEIS ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Doar trei numere tetraedrice sunt numere pătrate (secvența A003556 în OEIS ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

Una dintre „conjecturile” lui Pollock (1850): fiecare număr natural poate fi reprezentat ca suma a cel mult cinci numere tetraedrice. Nu a fost încă dovedit, deși a fost testat pentru toate numerele mai mici de 10 miliarde [49] [50] .

Numere piramidale pătrate

Numerele piramidale pătrate sunt adesea denumite pe scurt numere pur și simplu piramidale. Pentru ei, piramida are o bază pătrată. Secvența de pornire:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ( secvența OEIS A000330 ).

Formula generală pentru un număr piramidal pătrat este: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

Numărul piramidal pătrat exprimă și numărul total de pătrate [51] dintr-o grilă pătrată . $\Pi _{n}^{(4))$ $n\ ori n$

Există următoarea relație între numerele piramidale pătrate și triunghiulare [52] :

4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3))

S-a remarcat mai sus că suma numerelor triunghiulare succesive este un număr pătrat; în mod similar, suma numerelor tetraedrice succesive este un număr piramidal pătrat [52] : . $\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3))$

Numere poliedrice

Prin analogie cu numerele pătrate, puteți introduce „numere cubice” , precum și numere corespunzătoare altor poliedre regulate și neregulate - de exemplu, solide platonice : $Q_{n}=n^{3},$

Sunt oferite și opțiuni centrate.

Numere cubice

Numerele cubice sunt produsul a trei numere naturale identice și au o formă generală Valori inițiale: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (secvența A000578 în OEIS ).

Numărul cubic poate fi exprimat ca diferența dintre pătratele numerelor triunghiulare succesive [53] :

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2)

, .

n\geqslant 2

Corolar: suma primelor numere cubice este egală cu pătratul celui de-al treilea număr triunghiular: $n$ $n$

Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2)

Diferența dintre două numere cubice învecinate este un număr hexagonal centrat. Corolar: suma primelor numere hexagonale centrate este un număr cubic [53] . $n$ $Q_{n}$

Exprimarea numărului cubic în termeni de tetraedric [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, unde .

n > 2

Una dintre „ conjecturile lui Pollock ” (1850): fiecare număr natural poate fi reprezentat ca suma a cel mult nouă numere cubice. Dovedit la începutul secolului al XX-lea. De obicei, șapte cuburi sunt suficiente, dar 15 numere necesită opt (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, secvența A0188 ) și 9 în OEIS88 . sunt necesare numerele toate cele nouă: 23 și 239. Dacă, pe lângă adunare, este permisă scăderea, atunci sunt suficiente cinci cuburi (posibil chiar și patru, dar acest lucru nu a fost încă dovedit) [54] .

Funcția generatoare a numerelor cubice are forma [53] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4)))

; .

|x|<1

Numerele octaedrice Numerele dodecaedrice Numerele icosaedrice

Generalizări multidimensionale

Structurile tridimensionale descrise mai sus pot fi generalizate la patru sau mai multe dimensiuni. Un analog al numerelor tetraedrice din spațiul -dimensional sunt „ numerele simplex ”, numite și hipertetraedrice [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Cazurile lor speciale sunt:

$S_{n}^{[2]}$ sunt numere triunghiulare .
$S_{n}^{[3]}$ sunt numere tetraedrice .
$S_{n}^{[4]}$ sunt numere pentatop .

Alte varietati de numere multidimensionale sunt hipercubice : . Numerele hipercubice cu patru dimensiuni sunt numite bi -pătrat [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ $(d=4)$

Numerele din mai mult de o varietate

Unele numere figurative pot aparține mai mult de un fel de numere plate și/sau multidimensionale, exemple pentru numere plate au fost deja date mai sus . Pentru numerele multidimensionale, aceasta este o situație destul de rară [56] .

Cinci numere (și numai ele) sunt atât triunghiulare, cât și tetraedrice (secvența A027568 în OEIS ). $1,10,120,1540,7140$
Cele patru numere sunt atât piramidale triunghiulare, cât și pătrate (secvența A039596 în OEIS ). $1,55,91,208335$
Trei numere sunt atât pătrate plat, cât și tetraedrice (secvența A003556 în OEIS ). $1,4,19600$
Două numere sunt simultan pătrat plat și pătrat piramidal. Această afirmație a devenit cunoscută sub numele de „ ipoteza lui Luc ” sau „ problema ghiulei ” (1875). Soluția completă a fost dată în 1918 de George Neville Watson [57] . $1,4900$

Niciun număr natural, cu excepția 1, nu poate fi simultan [58] [56] :

triunghiular și cubic;
triunghiular și biquadric [59] ;
triunghiular și puterea a cincea a unui număr întreg [58] ;
centrat hexagonal și cubic.

În 1988, F. Bakers și J. Top au demonstrat că niciun număr altul decât 1 nu poate fi atât tetraedric cât și piramidal pătrat [60] . De asemenea, s-a dovedit că nu există numere care simultan [56] :

tetraedric și cubic;
pătrat piramidal și cubic;
tetraedric și biquadratic;
pătrat piramidal și bi-pătrat.

Tipuri arhaice de numere ondulate

În antichitate, când aritmetica nu era separată de geometrie, pitagoreicii (secolul al VI-lea î.Hr.) mai distingeau câteva tipuri de numere figurative [61] .

Numerele liniare sunt numere „măsurate doar cu o unitate”, adică, în terminologia modernă, numere prime (Euclid folosește termenul „ primele numere ”, alte grecești πρώτοι αριθμοί ).
Numerele plate (sau plate) sunt numere care pot fi reprezentate ca un produs al doi factori mai mari decât unul, adică compus .
- Un caz special sunt numerele dreptunghiulare (uneori numite „ alungite ” în surse ), care sunt produsul a două numere întregi consecutive [62] , adică având forma $n(n+1),n\geqslant 0.$
Numerele solide sunt numere care pot fi reprezentate ca un produs al trei factori mai mari decât unu.

Comentatorul lui Euclid D. D. Mordukhai-Boltovskoy explică [63] :

Termenii „plan” și „solid” număr sunt probabil o relicvă a unei perioade anterioare a gândirii matematice, când numărul și imaginea geometrică erau și mai strâns legate, când produsul dintre numărul de obiecte cu un număr abstract era considerat ca fiind aranjarea acestor obiecte în rânduri de obiecte în fiecare, cu umplere în zona dreptunghiului. Același lucru ar trebui spus despre produsul a trei numere, care, conform terminologiei euclidiene, este un număr solid. $A$ $b$ $b$ $A$

În prezent, numerele prime nu sunt clasificate ca figurative, iar termenii „număr plat” și „număr solid” au căzut din uz [63] .

Rolul în teoria numerelor

Triunghiul lui Pascal

Numerele din triunghiul lui Pascal arată o legătură cu multe varietăți de numere ondulate.

Pe a treia linie din triunghiul lui Pascal sunt numere triunghiulare, iar pe a patra - numere tetraedrice (vezi figura). Acest lucru se datorează faptului că --lea număr tetraedric este suma primelor numere triunghiulare, care sunt situate pe a treia linie. În mod similar, numerele pentatop cu patru dimensiuni sunt situate pe a cincea linie etc. Toate, ca și alte numere din triunghiul lui Pascal, sunt coeficienți binomiali . $n$ $n$

Astfel, toate elementele interne ale triunghiului lui Pascal sunt numere figurative, iar diferitele lor varietăți sunt reprezentate. De-a lungul fiecărei linii, de la stânga la dreapta, sunt numere hipertetraedrice de dimensiune crescătoare. Se știe că suma tuturor numerelor din al treilea rând este egală , deci rezultă că suma tuturor numerelor din primele rânduri este egală cu numărul Mersenne . Prin urmare, numărul Mersenne poate fi reprezentat ca suma numerelor hipertetraedrice. [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Alte utilizări

Multe teoreme din teoria numerelor pot fi formulate în termeni de numere ondulate. De exemplu, conjectura catalană afirmă că dintre numerele hipercubice de dimensiuni arbitrare, o singură pereche diferă cu 1: (demonstrat în 2002) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Orice număr perfect par este triunghiular [66] (și în același timp hexagonal, iar numărul numărului hexagonal este o putere a doi). Un astfel de număr nu poate fi simultan un pătrat, cubic sau alt număr hipercubic [67] .

Conjectura lui Legendre (1808, cunoscută și ca a treia problemă a lui Edmund Landau ): există întotdeauna un număr prim între numere pătrate succesive . Încă nu este dovedit.

Suma primelor numere triunghiulare centrate este „constanta magică” pentru pătratul magic al dimensiunii . Alte moduri de a obține aceeași constantă sunt printr-un număr triunghiular sau prin adăugarea tuturor numerelor naturale de la la inclusiv [68] . $n$ $(n>2)$ $n\ ori n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ $T_{n-1)$ $T_{n}$

Un număr Mersenne mai mare decât 1 nu poate fi pătrat, cubic sau hipercubic, dar poate fi triunghiular. Există doar patru numere Mersenne triunghiulare: , căutarea lor este echivalentă cu rezolvarea ecuației Ramanujan-Nagel în numere naturale : . După cum se dovedește, soluția acestei ecuații există numai pentru (secvența A060728 în OEIS ), iar pentru , numărul Mersenne corespunzător va fi atunci triunghiular [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ $M_{n-3)$

De asemenea, numărul Fermat nu poate fi pătrat, cubic sau hipercubic, dar în singurul caz poate fi triunghiular: . Numărul Fermat nu poate fi, de asemenea, tetraedric și hipertetraedric de orice dimensiune peste 2 [64] . $F_{0}=3$

Printre numerele Fibonacci, există doar trei numere pătrate (0, 1 și 144) și patru triunghiulare (1, 3, 21, 55, secvența OEIS A039595 ). Dacă rotiți triunghiul lui Pascal așa cum se arată în figură, atunci numerele Fibonacci pot fi obținute ca sume de-a lungul diagonalelor ascendente; acest fapt dă expansiunea numărului Fibonacci în termeni de numere hipertetraedrice [69] .

Printre numerele Lucas există două numere pătrate (1 și 4) și trei numere triunghiulare (1, 3, 5778) [69] .

Numerele catalane sunt exprimate în termeni de numere hipertetraedrice, după cum urmează [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

O altă clasă de numere strâns legate de numerele ondulate sunt numerele Stirling de al doilea fel . Această clasă include toate numerele triunghiulare: , iar expresia este egală cu numărul hipercubic al 2-lea în ordinea dimensională . În sfârșit, orice număr hipercubic -dimensional poate fi extins în felul următor [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

Q_{n}^{[d]}=\sum _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\dots (n-m+1))

Note

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 9.
↑ Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 p.
↑ Numere ondulate // Dicţionar enciclopedic matematic . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1988. - S. 607 . — 847 p.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. zece.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Ce este teoria numerelor. - M . : Cunoașterea, 1970. - S. 56-57.
↑ Seria aritmetică // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia sovietică , 1982. - V. 1. Copie de arhivă din 13 noiembrie 2013 la Wayback Machine
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. cincisprezece.
↑ În spatele paginilor unui manual de matematică, 1996 , p. cincizeci.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , p. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Sumele puterilor reciproce ale numerelor poligonale (formula 23)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. paisprezece.
↑ Diophantus din Alexandria . Aritmetica și cartea numerelor poligonale / Per. I. N. Veselovsky; Ed. si comentati. I. G. Bashmakova. - M. : Nauka, 1974. - S. 48. - 328 p. Arhivat pe 24 aprilie 2007 la Wayback Machine
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. Doctrina numărului în Orientul Apropiat și Mijlociu medieval. - Tașkent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 p. În ciuda titlului, cartea urmărește istoria conceptului de număr încă din cele mai vechi timpuri.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Combinatorică populară . - M . : Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 p. Arhivat pe 5 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. zece.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , p. 27.
^ Weisstein , Eric W. Telescoping Sum pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Dickson, 2005 , p. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 19.
↑ 12 Dickson , 2005 , p. 2.
↑ Câteva serii de numere finite . Math24.ru . Preluat la 14 iunie 2019. Arhivat din original la 14 iunie 2019. (Rusă)
↑ Kokhas K. P. Suma pătratelor inverse // Educație matematică. - 2004. - Emisiune. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Partiționarea numerelor. : [ arh. 9 august 2019 ] // Revista Kvant. - 1988. - Nr. 11.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 37-38.
↑ Într-adevăr, fie (toate numerele sunt numere întregi) un număr întreg , iar , sunt coprime. Înmulțind ambele părți cu , obținem: . În dreapta este un număr întreg, deci împarte și, conform lemei generalizate a lui Euclid , împarte . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ $bn_{1)$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Dincolo de problema de la Basel: Sume ale reciprocelor numerelor figurate Arhivat 29 decembrie 2019 la Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 46.
↑ Dickson, 2005 , p. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 239.
↑ Frederick Pollock. Pe extinderea principiului teoremei lui Fermat asupra numerelor poligonale ultime la ordinul superior al serii ale căror diferențe sunt constante. Cu o nouă teoremă propusă, aplicabilă tuturor ordinelor // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. - 1850. - Vol. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematică și șah // The Arithmetic Teacher. - 1974. - Vol. 21, nr. 5 (mai). - P. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , p. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 77-78.
↑ Watson GN Problema piramidei pătrate // Messenger. Matematică. 1918 Vol. 48. P. 1-16.
↑ 1 2 Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . Preluat: 9 martie 2021.
↑ Dickson, 2005 , p. opt.
↑ Beukers F., Top J. On oranges and integral points on certain plane cubic curves // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - Vol. 6, nr. 3. - P. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. Evoluția conceptului de știință (formarea și dezvoltarea primelor programe științifice) Copie de arhivă din 19 august 2014 la Wayback Machine , capitolul 1. M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Enciclopedia istorică a științelor naturale și matematice, volumul 1 : [ arh. 11 noiembrie 2021 ]. - Springer-Verlag, 2009. - P. 161. - (Referință Springer). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Începuturile lui Euclid / Traducere din greacă și comentarii de D. D. Mordukhai-Boltovsky cu participarea editorială a lui M. Ya. Vygodsky și I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (Clasice ale științelor naturale).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 196-197.
↑ În spatele paginilor unui manual de matematică, 1996 , p. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 214-215.

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 48 -52. — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I.Istoria matematicii la scoala (clasele 4-6). - M . : Educaţie, 1964. - S. 84-86. — 376 p.
Deza E. Numere speciale ale seriei naturale: Manual .. - M . : Casa de carte „LIBROKOM”, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori . - Ed. al doilea. - M . : Educaţie, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Note despre numerele poligonale în caietele lui Euler // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1983. - Nr. 27 . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Triunghiuri pitagoreice. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 p.
Stillwell D. Capitolul 3. Teoria numerelor grecești // Matematica și istoria ei. - Moscova-Izhevsk: Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2004.
Dickson LE Polygonal. numere piramidale și figurate //Istoria teoriei numerelor . - New York : Dover, 2005. - Vol. 2: Analiza diofantină. - P. 22-23.

Link -uri

Numere ondulate . Grupul de edituri OSNOVA. Data accesului: 10 februarie 2021. (Rusă)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 7532594-9

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux