Teorema lui Hadwiger

Teorema lui Hadwiger caracterizează evaluări continue asupra corpurilor convexe din spațiul euclidian care sunt invariante în mișcări. Dovedit de Hugo Hadwiger .

Introducere

Evaluări

Fie clasa tuturor multimilor convexe compacte nevide din . O evaluare pe este o funcție astfel încât egalitatea $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

este valabil pentru orice astfel de care , $S,T\in K^{n)$ $S\cup T\in K^{n}$

în care

Se spune că o evaluare este continuă dacă este continuă în raport cu metrica Hausdorff .
Se spune că o evaluare este invariantă în mișcare dacă pentru orice mișcare φ și orice mișcare $S\în K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Măsură transversală medie

$k$ -a măsură transversală medie a unui corp este definită ca aria dimensională medie a proiecțiilor pe planuri dimensionale. $W_{k}(S)$ $S\în K^{n}$ $k$ $S$ $k$

În special,

$W_{n}(S)$ - volum , $S$
$W_{n-1}(S)$ este proporțională cu suprafața . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Formulare

Orice evaluare continuă v pe K n , invariantă sub mișcări, poate fi reprezentată ca

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Literatură

Semyon Alesker Introducere în teoria evaluărilor pe mulțimi convexe Înregistrări video ale prelegerilor, Școala de vară de matematică „Algebră și geometrie” 25—31 iulie 2014 Yaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introducere în probabilitatea geometrică (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. O demonstrație elementară simplificată a teoremei de volum a lui Hadwiger // Geom . Dedicata: jurnal. - 2004. - Vol. 105 . - P. 107-120 . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .