Teorema lui Helly

Teorema lui Helly este un rezultat clasic al geometriei combinatorii și al analizei convexe . Teorema oferă o condiție pentru o familie de mulțimi convexe care garantează că această familie are o intersecție nevidă.

Formulări

Familii finite

Să ne prefacem că

X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}

este o familie finită de submulțimi convexe ale spațiului euclidian, astfel încât intersecția oricăreia dintre ele este nevidă. $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$

Atunci intersecția tuturor submulților din această familie nu este goală, adică

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [unu]

Familii infinite

Pentru familii infinite, trebuie să cerem în plus compactitate:

Să existe o familie arbitrară de submulțimi compacte convexe, astfel încât intersecția oricăreia dintre ele să fie nevide. Atunci intersecția tuturor submulților din această familie nu este goală. $\{X_{\alpha }}\}$ $\mathbb {R} ^{d)$ $d+1$

Consecințele

Teorema lui Young: Să existe o mulțime finită de puncte în spațiul euclidian -dimensional astfel încât orice puncte din pot fi acoperite de bila unității. Apoi, întregul set poate fi acoperit de bila unitară. $S$ $d$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Raza lui Young: Fie un set de puncte în spațiul euclidian -dimensional , cu diametrul . Apoi există o bilă închisă bidimensională de rază astfel încât . Dacă setul nu aparține unei bile mai mici, atunci conține vârfuri - un simplex cu lungimea fiecărei margini . [2] $X$ $d$ $\mathbb {R} ^{d)$ $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$ $d$ $B^{d}(r)$ $r={\sqrt {2d/(d+1))}$ $X\subset B^{d}(r)$ $X$ $X$ $d$ $2$
teorema lui Kirschbrown

Variații și generalizări

Fie un spațiu Hilbert (nu neapărat separabil ) și o familie de submulțimi convexe mărginite închise ale . Dacă intersecția unei subfamilii finite arbitrare este nevidă, atunci este, de asemenea, nevidă. $H$ $X_{\alpha }$ $H$ $X_{\alpha }$ $\cap _{\alpha }X_{\alpha )$

Istorie

Teorema a fost demonstrată de Eduard Helly în 1913, despre care a povestit lui Radon , a publicat-o abia în 1923 [3] , după publicațiile lui Radon [4] și König [5] .

Vezi și

Note

↑ Shikin E. V. Spații liniare și mapări. - M., Universitatea de Stat din Moscova , 1987. - c. 177
↑ Shikin E. V. Spații liniare și mapări. - M., Universitatea de Stat din Moscova , 1987. - p. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (link inaccesibil) , - Jber. Deutsch. Matematică. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (link inaccesibil) , - Math. Ann. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Math. Z. 14 (1922), 208-220.

Literatură

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. Teorema lui Helly și aplicațiile sale. - M . : Mir, 1968. - 159 p.