Teorema triunghiului lui Euler

Formula lui Euler - teorema planimetriei , raportează distanța dintre centrele cercurilor înscrise și circumscrise și razele acestora.

Teorema este numită după Leonhard Euler .

Formulare

Distanța dintre centrele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi poate fi determinată prin formula $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

unde este raza cercului circumscris, este raza cercului înscris. $R$ $r$

Note

Formula de mai sus poate fi rescrisă după cum urmează ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

Teorema implică așa-numita inegalitate Euler $R\geq 2r$ .
- Există o formă mai puternică a acestei inegalități [1] :p. 198 , și anume: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

unde sunt laturile triunghiului.

a,b,c

Pentru un triunghi sferic , raportul dintre raza cercului circumscris și raza cercului înscris poate fi mai mic de 2. Mai mult, pentru orice număr între 1 și 2, există un triunghi sferic regulat cu raportul razei lui cercul circumferitor la raza cercului înscris egal cu acest număr.

Dovada

Fie centrul cercului circumferitor al triunghiului și centrul cercului înscris. Dacă raza intersectează cercul circumscris într-un punct , atunci este punctul de mijloc al arcului . Să desenăm o rază și să notăm punctul ei de intersecție cu cercul circumscris ca . Atunci va fi diametrul cercului circumscris. Din punctul în care coborâm perpendiculara la Apoi scriem formula Euler într-o formă ușor diferită $O$ $\Delta ABC$ $eu$ $AI$ $L$ $L$ $î.Hr$ $LO$ $M$ $LM$ $eu$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Puteți vedea că în stânga este gradul punctului relativ la cercul circumscris (mai precis, minus gradul punctului). Adică este suficient să dovedim egalitatea . Prin lema trident , este suficient să demonstrăm că . Acum observăm că , adică egalitatea necesară poate fi rescrisă sub forma Să o rescriem mai mult: . Această egalitate rezultă din asemănarea triunghiurilor și . Într-adevăr, unghiurile și ale acestor triunghiuri sunt drepte, iar unghiurile și sunt egale, deoarece ambele se bazează pe arc (mai mult, raportul este egal cu sinusul unghiului ). $eu$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ $\triunghi MLB$ $B$ $D$ $A$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Istorie

Această teoremă poartă numele lui Leonhard Euler, care a publicat-o în 1765. Cu toate acestea, același rezultat fusese publicat mai devreme de William Chapple în 1746. [2]

Variații și generalizări

Pentru centrul unui cerc

Pentru excercuri, ecuația arată astfel:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

unde este raza unuia dintre excercuri și este distanța de la centrul cercului circumscris la centrul acestui excerc [3] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

Pentru poligoane

Pentru razele și, respectiv, cercurile circumscrise și înscrise ale unui patrulater înscris-circumscris dat (vezi Fig.) și distanța dintre centrele acestor cercuri, relația este îndeplinită: $R$ $r$ $d=x$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

sau echivalent,

d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))

Această relație se numește Teorema Fuss . A fost obținut de Nikolai Ivanovich Fuss [6] în 1792.

Teorema lanțului Poncelet a lui Cayley generalizează teorema lui Euler la gonuri înscrise-circumscrise [7] . $n$

Vezi și

Porism Poncelet

Note

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non -Euclidian versions of some classical triangle inequalities , Forum Geometricorum vol . 12: 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG2012 Archived17index.html copie datată 28 octombrie 2019 la Wayback Machine .
↑ Chapple, William (1746), Un eseu despre proprietățile triunghiurilor înscrise în și circumscrise la două cercuri date , Miscellanea Curiosa Mathematica vol. 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/ n142 > . Formula pentru distanță este aproape de partea de jos a p.123.
↑ Roger Nelson. Inegalitatea triunghiului lui Euler prin demonstrație fără cuvinte // Revista de matematică. - februarie 2008. - Emisiune. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. geometria modernă. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - P. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Formula lui Euler și porismul lui Poncelet // Forum Geometricorum. - 2001. - Emisiune. 1 . — S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Arhivat 17 februarie 2020 la Wayback Machine
↑ Avksentiev, E. A. Măsuri invariante și teoreme de închidere de tip Poncelet Arhivat 14 august 2016 la Wayback Machine

Link -uri

Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .