Porism Poncelet

Porismul Poncelet este o teoremă clasică a geometriei proiective . Numit după Jean-Victor Poncelet .

Istorie

Porismul Poncelet a fost descoperit de matematicianul francez Jean-Victor Poncelet în 1812-1814, când era prizonier la Saratov . În captivitate la Saratov, el a scris (în mare parte) tratatul său despre proprietățile proiective ale figurilor, precum și un tratat de geometrie analitică (șapte caiete, publicate ulterior - în 1862-1864 - sub titlul Applications d'Analyse et de Géometrie ) .

Cazul special pentru triunghiuri a rezultat din teorema lui Euler .

Formulare

Fie un poligon cu vârfuri diferite, înscris într-o conică și circumscris unei alte conice . Apoi, pentru orice punct al conicii , cum ar fi atingerile , există un poligon înscris în și circumscris la . [unu] $A_{1}A_{2}\ldots A_{n)$ $n$ $C$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1},B_{2))$ $C$ $B_{1}\neq B_{2}$ $B_{1}B_{2}$ $\Gamma$ $B_{1}B_{2}\ldots B_{n)$ $C$ $\Gamma$

Note

Dacă o conică este un cerc , poligoanele care sunt înscrise într-un cerc și circumscrise altuia se numesc poligoane bicentrice , deci acesta este un caz special de porism Poncelet poate fi exprimat succint, având în vedere că fiecare poligon bicentric face parte dintr-un set infinit de bicentrici. poligoane față de aceleași două cercuri [2] :p. 94 .

Dovada algebrică

Luați în considerare un set de perechi de forma „un punct pe conica exterioară și o tangentă de la aceasta la cea interioară”. Această mulțime poate fi definită printr-o ecuație algebrică în produsul unui plan proiectiv și dualul său (adică mulțimea de linii de pe planul original), care este proiectivă datorită înglobării Segre . Este clar că în configurația generală varietatea algebrică rezultată va fi o curbă nedegenerată. Să-i calculăm genul folosind formula Riemann-Hurwitz : această varietate este proiectată într-un mod natural (uitând maparea în linie dreaptă) pe o secțiune conică externă, iar două preimagini vor atârna deasupra punctului comun și numai la patru puncte - punctele de intersecție ale secțiunilor conice, a căror existență este garantată de teorema lui Bezout , - are o singură preimagine, adică este ramificată în aceste patru puncte și numai la ele. Prin urmare, caracteristica Euler a curbei de acoperire este egală cu , adică curba are genul 1 și, datorită nedegenerarii sale, este o curbă eliptică . $2(2-4)+4=0$

Vom începe de la un punct, desenând tangente. Având un punct de plecare selectat și o direcție de traversare, obținem o succesiune de perechi precum „un punct pe conica exterioară și o tangentă de la aceasta la cea interioară”. Rețineți că un punct nedegenerat de pe conica exterioară corespunde la două puncte de pe curba eliptică (corespunzând la două tangente care emană din ea), iar suma acestora ca puncte ale curbei eliptice oferă o mapare de la conica exterioară la eliptică. curba, care este o mapare la un punct, deoarece poate fi ridicată pe învelișul universal - planul complex, unde, datorită compactității sferei, va fi mărginită și, prin teorema lui Liouville , constantă. Prin urmare, transferul unei tangente care emană dintr-un punct este dat de maparea , unde este o constantă. În mod similar, transferul unui punct situat pe o tangentă are forma , iar alcătuirea lor, astfel, are forma ; dar compoziția este construcția următoarei părți a lanțului față de cea anterioară, iar închiderea lanțului este echivalentă cu ceea ce constă în torsiunea curbei eliptice ca grup prin adunare și, prin urmare, nu depinde de punctul de plecare. ; în egală măsură, ordinea răsucirii, adică numărul de pași în care se închide lanțul, nu depinde de ea. $x\mapsto \xi -x$ $\xi$ $x\mapsto \zeta -x$ $x\mapsto \zeta -\xi +x$ $\zeta-\xi$

Variații și generalizări

Teorema lui Cayley

Fie un cerc și fie o elipsă . Atunci condiția pentru buclarea lanțului este dată în termenii seriei Taylor a funcției . (Fiecare coeficient este calculat prin și , de exemplu, .) Și anume: $f$ $x^{2}+y^{2}=1$ $g$ $ax^{2}+de^{2}=1$ ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2} +\puncte$ $c_{i}$ $A$ $b$ $c_{0}=ab$

Lanțul Poncelet se împletește și trece peste trepte dacă și numai dacă $f$ $g$ $2m+1$ ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end {vmatrix)) =0.$
Un lanț Poncelet se împletește și trece peste trepte dacă și numai dacă [3] $f$ $g$ $2m$ ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix }}=0.$

Teorema lui Schwartz

Să fie un lanț Poncelet. Notați printr-o dreaptă și luați în considerare punctele de intersecție . Apoi pentru orice număr întreg $A_{0}A_{1}\puncte$ $\ell _{i}$ $A_{i}A_{{i+1}}$ $B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j)$ $k$

Toate punctele se află pe aceeași secțiune conică. $B_{{i,i+k}}$
Toate punctele se află pe aceeași secțiune conică. $B_{{i,ki}}$

Analogic multidimensional

Dovada algebrică a teoremei Poncelet se bazează pe faptul că intersecția a două cvadrici într-un spațiu proiectiv tridimensional este o curbă eliptică . În 1972, Miles Reed , în disertația sa, a dovedit o generalizare a acestui fapt. Și anume, teorema lui Reed afirmă că o varietate care parametriză subspații liniare -dimensionale într-un spațiu proiectiv -dimensional situat la intersecția unor cvadrici bidimensionale (cu condiția ca această intersecție să fie nesingulară) este varietatea iacobiană a unei curbe hipereliptice (o ramificată ). dubla acoperire a unei curbe raţionale) . [4] Această curbă hipereliptică poate fi construită ca loc al subspațiilor -dimensionale la intersecția a două cvadrici care intersectează un subspațiu cu dimensiuni fixe situate, de asemenea, la intersecția cvadricilor, de-a lungul unui subspațiu de dimensiune cel puțin . Dacă aceste cvadrici sunt reduse la axele principale (adică au ecuații omogene $(n-1)$ $(2n+1)$ $2n$ $(n-1)$ $(n-1)$ $n-2$

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

pentru unii coeficienți ), atunci această curbă este izomorfă birațional cu curba dată de ecuație $b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1)$

y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).

Donaghy a observat că legea adunării pe o astfel de varietate poate fi definită geometric. Și anume, dacă este o cuadrică din snop generat de cele două cuadrici ale noastre (le notăm cu și ), și sunt subspații bidimensionale care se află și aparțin aceleiași familii conectate și se decupează la intersecția a două cuadrici bidimensionale subspații și , apoi adunarea este determinată în mod unic de regulă (și de alegerea zero). [5] De exemplu, dacă , atunci adunarea punctelor pe o curbă eliptică este definită după cum urmează. Să alegem un punct ca zero. Pentru a adăuga punctele și , trageți o linie și luați în considerare un cvadric din creionul pe care se află această linie (o astfel de cvadrică este unică și poate fi construită, de exemplu, ca uniunea de linii secante , intersectând de două ori o curbă eliptică ). Linia , fiind un generator de cvadrică bidimensională, aparține unei familii conectate cu un singur parametru. Să alegem o linie din această familie care trece prin punctul . Al doilea punct de intersecție al unei drepte cu o curbă eliptică va fi suma sumei dorite . $Q$ $Q_1$ $Q_{2}$ $E_1$ $E_2$ $n$ $Q$ $E_{i}$ $(n-1)$ $\ell _{i1}$ $\ell _{i2)$ $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ $n=1$ $O$ $A$ $B$ $AB$ $AB$ $AB$ $p$ $O$ $p$ $A+B$

Vezi și

Porismul Steiner este o afirmație similară pentru lanțurile de cercuri.
Teorema lui Euler (planimetrie) include un caz special al porismului Poncelet pentru . $n=3$

Note

↑ Marcel Berger , Geometrie, Corolarul 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
↑ Dragovic, Vladimir, Radnovic, Milena. Porismele Poncelet și dincolo. - Springer, 2011. - P. 116. - (Frontiers in Mathematics). — ISBN 3034800142 .
↑ Reid, M.: Intersecția completă a două sau mai multe cvadrici. Teză, Cambridge (GB) 1972
↑ Donagi, R.: Legea grupului asupra intersecțiilor a două quadrici. Preprint UCLA 1978

Literatură

Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, teorema de închidere a lui DW Poncelet. Expositiones Mathematicae 5 (1987), nr. 4, 289-364.

Link -uri

Desen viu .
Marcel Berge. Geometrie: Per. din franceza. - M .: Mir, 1984. - vol. 2, 16.6, p. 140-148.
Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Curs 29 // Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
V. V. Prasolov . Dovada teoremei Poncelet de Darboux Arhivat 27 februarie 2014 la Wayback Machine , Mat. iluminare, ser. 3, 5, MTsNMO, Moscova, 2001, 140-144.
G. B. Shabat . Around Poncelet Copie de arhivă din 27 aprilie 2016 la Wayback Machine , Școala de vară „Modern Mathematics”, 2014 Dubna.