Cerc înscris

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Un cerc se numește înscris într-un unghi dacă se află în interiorul unghiului și atinge laturile sale. Centrul unui cerc înscris într-un unghi se află pe bisectoarea acelui unghi.

Un cerc se numește înscris într-un poligon convex dacă se află în interiorul poligonului dat și atinge toate laturile acestuia.

Într-un poligon

Dacă un cerc poate fi înscris într-un poligon convex dat, atunci bisectoarele tuturor unghiurilor interioare ale poligonului dat se intersectează într-un punct, care este centrul cercului înscris.

Raza unui cerc înscris într-un poligon este egală cu raportul dintre aria sa și semiperimetrul său : $S$ $p$

r={\frac {S}{p}}

În triunghi

Proprietățile cercului înscris:

Fiecare triunghi poate fi înscris cu un cerc și doar unul.
Centrul cercului înscris este echidistant de toate laturile și este punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului. $eu$
Raza unui cerc înscris într-un triunghi este: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

unde sunt laturile triunghiului, sunt înălțimile trasate la laturile corespunzătoare [1] ; $a,b,c$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(buc)}{p}}}}

unde este aria triunghiului și este semiperimetrul acestuia.

S

p

r={\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}

, este semiperimetrul triunghiului ( teorema cotangentei ).

p

Dacă este baza unui triunghi isoscel , atunci cercul tangent la laturile unghiului în puncte și trece prin centrul cercului înscris al triunghiului . $AB$ $\triunghi ABC$ $\angle ACB$ $A$ $B$ $\triunghi ABC$
Teorema lui Euler : , unde este raza cercului circumscris triunghiului, este raza cercului înscris în el, este centrul cercului circumscris, este centrul cercului înscris . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $O$ $eu$
Dacă dreapta care trece prin punctul I paralel cu latura intersectează laturile și în punctele și , atunci . $AB$ $î.Hr$ $CA$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Dacă punctele de contact ale unui cerc înscris într-un triunghi cu laturile sale sunt legate prin segmente, atunci se va obține un triunghi cu proprietățile: $T$ $T_{1}$
- Bisectoarele lui T sunt bisectoare perpendiculare ale lui T 1
- Fie T 2 un ortotriunghi T 1 . Atunci laturile sale sunt paralele cu laturile triunghiului original T.
- Fie T 3 triunghiul mijlociu al lui T 1 . Atunci bisectoarele lui T sunt înălțimile lui T 3 .
- Fie T 4 un ortotriunghi al lui T 3 , atunci bisectoarele lui T sunt bisectoarele lui T 4 .
Raza cercului înscris într-un triunghi dreptunghic cu catetele a , b și ipotenuza c este egală cu . ${\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$
Distanța de la vârful C al triunghiului până la punctul în care cercul înscris atinge latura este . $d={\frac {a+bc}{2}}=buc$
Distanța de la vârful C până la centrul cercului înscris este , unde este raza cercului înscris, iar γ este unghiul vârfului C . $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))}$ $r$
Distanța de la vârful C până la centrul cercului înscris poate fi găsită și folosind formulele și $l_{c}={\sqrt {(buc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr))$
Teorema tridentului sau teorema trefoilului : Dacă D este punctul de intersecție al bisectoarei unghiului A cu cercul circumferitor al triunghiului ABC , I și J sunt centrele tangentei înscrise și respectiv ale excercului la latura BC , atunci . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Lema lui Verrier [2] [3] : fie cercul să atingă laturile , iar arcul cercului circumscris triunghiului . Apoi punctele de tangență ale cercului cu laturile și centrul cercului înscris al triunghiului se află pe aceeași dreaptă. $V$ $AB$ $AC$ $î.Hr$ $ABC$ $V$ $ABC$

Teorema lui Feuerbach . Cercul de nouă puncte atinge toate cele trei excercuri , precum și cercul înscris . Punctul de tangență dintre cercul lui Euler și cercul interior este cunoscut sub numele de punctul Feuerbach .

Relația dintre cercurile înscrise și circumscrise

Formula lui Euler : Dacă - distanța dintre centrele cercurilor înscrise și circumscrise, iar razele acestora sunt egale și respectiv, atunci . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Formule pentru raportul și produsul razelor:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[patru]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

unde este jumătatea perimetrului triunghiului și este aria acestuia. $p$ $S$

Perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului în punctele de contact ale cercurilor se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [5] .

Pentru un triunghi, se poate construi un cerc semi-inscris sau un cerc Varière . Este un cerc tangent la două laturi ale unui triunghi și cercul său circumferitor în interior. Segmentele care leagă vârfurile triunghiului și punctele de contact corespunzătoare ale cercurilor Verrier cu cercul circumscris se intersectează într-un punct. Acest punct servește ca centru al unei homoteții cu un coeficient pozitiv care duce cercul circumscris la cel înscris .
Centrul cercului înscris se află pe segmentul care leagă punctele de contact ale laturilor triunghiului și cercul semiînscris.

Relația dintre centrul cercului înscris și punctele medii ale altitudinilor unui triunghi

Teorema lui Rigby . Dacă desenăm o altitudine și un cerc atingând-o pe cealaltă parte de orice parte a unui triunghi în unghi ascuțit , atunci punctul de contact al acestuia din urmă cu această latură, punctul de mijloc al altitudinii menționate și, de asemenea, incentrul se află pe una. linie dreapta. [6] .
Din teorema lui Rigby rezultă că 3 segmente care leagă punctul de mijloc al fiecăreia dintre cele 3 înălțimi ale unui triunghi cu punctul de contact al unui cerc trasat de aceeași latură cu înălțimea se intersectează la incentru .

Într-un patrulater

Patrulaterul descris , dacă nu are auto-intersecții ("simplu"), trebuie să fie convex .
Unele (dar nu toate) patrulatere au un cerc înscris. Se numesc patrulatere circumscrise . Dintre proprietățile acestor patrulatere, cel mai important este că sumele laturilor opuse sunt egale. Această afirmație se numește teorema Pitot .
Cu alte cuvinte, un cerc poate fi înscris într-un patrulater convex ABCD dacă și numai dacă sumele laturilor sale opuse sunt egale: . $AB+CD=BC+AD$

În orice patrulater circumscris , cele două puncte medii ale diagonalelor și centrul cercului înscris se află pe aceeași linie dreaptă ( teorema lui Newton ). Pe ea se află mijlocul segmentului cu capete în punctele de intersecție ale continuărilor laturilor opuse ale patrulaterului (dacă acestea nu sunt paralele). Această linie se numește linia lui Newton . În figură, este verde, diagonalele sunt roșii, segmentul cu capete în punctele de intersecție a continuărilor laturilor opuse ale patrulaterului este și el roșu.
Centrul cercului circumscris patrulaterului este punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului cu vârfurile din punctul de intersecție al diagonalelor și punctele de intersecție ale laturilor opuse ( teorema lui Brocard ).

Într-un triunghi sferic

Cercul înscris pentru un triunghi sferic este cercul tangent la toate laturile sale.

Tangenta razei [7] a unui cerc înscris într-un triunghi sferic este [8] :73-74

\operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p)))

Un cerc înscris într-un triunghi sferic aparține sferei. Raza trasată din centrul sferei prin centrul cercului înscris va intersecta sfera în punctul de intersecție al bisectoarelor unghiulare (arcuri de cercuri mari ale sferei care împart unghiurile în jumătate) ale unui triunghi sferic [8] :20-21 .

Generalizări

O sferă înscrisă este o sferă care atinge toate fețele unui poliedru .
O elipsă Steiner este o elipsă înscrisă într-un triunghi.

Vezi și

Excerciază
Patrulaterul necircumscris
Înscrise și excercurile unui triunghi
Figuri înscrise și circumscrise pentru un triunghi
Minunate triunghiuri drepte
Puncte remarcabile ale triunghiului
Secțiune conică inscripționată
Cerc circumscris
Patrulaterul circumscris
Ortocentru
Gradul unui punct în raport cu un cerc
Teorema lui Mansion
teorema tridentului
Teorema lui Tebo 2 și 3
teorema lui Feuerbach
teorema lui Harcourt
Apollonius arată
Triunghi
Centroid
Triunghiul Centroid

Note

↑ Altshiller-Court, 1925 , p. 79.
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi . - Odesa, 1902. - S. 130. - 334 p.
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi. Ed. 2. Seria: Patrimoniul fizic și matematic (reproducere retipărire a ediției). . - Moscova: Lenand, 2015. - 352 p. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., „On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle”, Mathematical Gazette 87, martie 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Elemente de geometrie a unui triunghi. Seria: „Bibliotecă” Educație matematică „”. M.: MTsNMO, 2002. p. 11, punctul 5
↑ Ross Honsberger . Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . Washington, DC: Asociația de matematică din America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 30, Figura 34, §3. O coliniaritate improbabilă.
↑ Aici se măsoară raza cercului de-a lungul sferei, adică este măsura gradului arcului de cerc mare care leagă punctul de intersecție al razei sferei, trasat din centrul sferei prin centrul sferei. cerc, cu sfera și punctul de contact al cercului cu latura triunghiului.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

Literatură

Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 89. - 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului (ed. a doua), New York: Barnes & Noble