Teorema punctului de densitate

Teorema punctului de densitate este un rezultat al teoriei măsurii , care poate fi înțeleasă intuitiv ca însemnând că mulțimea de „puncte limită” a unei mulțimi măsurabile are măsura zero.

Formulare

Se notează cu măsura Lebesgue pe spațiul euclidian . Să fie un set măsurabil. Pentru un punct arbitrar și luați în considerare valoarea $\lambda$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon}(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon}(x))}{\lambda (B_{\varepsilon}(x)))}

unde denotă o bilă cu centrul la și raza . Valoarea poate fi interpretată ca densitatea aproximativă a mulțimii în punctul . $B_{\varepsilon }(x)$ $X$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon }(x)$ $A$ $X$

Apoi

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

există și este egal cu 1 pentru aproape fiecare punct . $x\în A$

Note

Valoarea , dacă este definită, se numește densitatea mulțimii în punctul . $d(x)$ $A$ $X$
Cu alte cuvinte, teorema afirmă că densitatea oricărei mulțimi măsurabile ia valoarea 0 sau 1 aproape peste tot în . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Dacă o mulțime și complementul său au o măsură pozitivă, atunci vor exista întotdeauna puncte cu densitatea nici 0, nici 1.

Exemple

De exemplu, dat un pătrat în plan, densitatea în fiecare punct din interiorul pătratului este 1, pe laturile 1/2, la vârfurile 1/4 și 0 în afara pătratului; granițele și vârfurile au măsura zero.

Variații și generalizări

Teorema punctului de densitate este un caz special al teoremei de diferențiere a lui Lebesgue .

Literatură

Natanson IP Teoria funcțiilor unei variabile reale. - M. , 1974.