Testul raportului de probabilitate

Testul raportului de probabilitate (LR ) este un test statistic utilizat pentru a testa constrângerile asupra parametrilor modelelor statistice estimate din datele eșantionului . Este unul dintre cele trei teste de bază de constrângere împreună cu testul multiplicator Lagrange și testul Wald .

Esența și procedura testului

Să existe un model econometric cu vector parametru . Este necesar să se testeze ipoteza folosind date eșantion , unde este setul (vectorul) unor funcții parametri. Ideea testului se bazează pe compararea funcțiilor de probabilitate pentru un model lung (fără restricții) și un model scurt (cu restricții). Se pare că următoarea statistică simplă a raportului de probabilitate este $b$ $H_{0}\colon ~g(b)=0$ $g$

$LR=2(l_{L}-l_{S})=2\ln {\frac {L_{L}}{L_{S}}},$

unde sunt valorile log- probabilității modelelor lung și, respectiv, scurt, în ipoteza nulă are (eventual asimptotic) o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate, unde este numărul de constrângeri. Prin urmare, dacă valoarea statisticii este mai mare decât valoarea critică a acestei distribuții la un nivel de semnificație dat , atunci constrângerile sunt respinse și se preferă modelul lung. În caz contrar, este de preferat modelul scurt. $l_{L},~l_{S}$ $\chi ^{2}(q)$ $q$ $q$

Caz special

Dacă erorile aleatoare ale modelului sunt , atunci se poate demonstra că $iid\;N(0,\sigma ^{2})$

$LR=n\ln {\frac {ESS_{S}}{ESS_{L}}}.$

În special, atunci când se testează semnificația unei regresii , prin urmare $ESS_{S}=TSS$

$LR=n\ln {\frac {TSS}{ESS}}=n\ln {\frac {1}{1-R^{2}}}=-n\ln(1-R^{2}).$

Relația cu alte teste

Se dovedește că testul Wald (W), testul raportului de probabilitate (LR) și testul multiplicatorului Lagrange (LM) sunt teste echivalente asimptotic (LM = LR = W). Cu toate acestea, pentru eșantioanele finite, valorile statisticilor nu se potrivesc. Pentru constrângeri liniare, inegalitatea este demonstrată . Astfel, testul raportului de probabilitate ocupă o anumită poziție medie în ceea ce privește frecvența de respingere a ipotezei nule față de testele multiplicatoare Lagrange și testul Wald. În cazul constrângerilor neliniare, prima parte a inegalității este satisfăcută, în timp ce a doua parte nu este în general. $LM\leqslant LR\leqslant W$

În locul testului LR, se poate efectua testul F asimptotic ale cărui statistici sunt exprimate în termeni de statistici LR, după cum urmează . $F={\frac {nk}{q}}(e^{{LR/n}}-1)$

Literatură

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. - M . : Delo, 2004. - 576 p.
William H. Greene. Analiza econometrică . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 p.