Punctul Apollonius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 iulie 2019; verificările necesită 9 modificări .

Punctul Apollonius Ap  este un punct special dintr-un triunghi. Este definit ca punctul de intersecție al liniilor care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale celor 3 excercuri ale triunghiului cu cercul circumscris în jurul lor. Legat de problema lui Apollonius . În Encyclopedia of Triangle Centers, este denumit centrul unui triunghi sub numele X(181).

Un exemplu de aplicare a punctului Apollonius la rezolvarea problemei Apollonius

Sarcina lui Apollonius  este să construiască un cerc tangent la trei cercuri date folosind o busolă și o linie dreaptă. Una dintre variantele acestei probleme, când al treilea cerc atinge în exterior cele trei cercuri interioare, se rezolvă prin introducerea punctului Apollonius Ap [1] [2] .

• Punctul Apollonius Ap din Encyclopedia of Triangle Centers este denumit centrul triunghiului sub numele X(181).
• În cadrul acestei probleme, cercul lui Apollonius (a nu se confunda cu cercurile lui Apollonius ) este un cerc care atinge trei cercuri în afara triunghiului în interior (vezi cercul verde din figură).

Circumferința lui Apollonius

Definiția cercului lui Apollonius

• Fie dat triunghiul ABC . Fie excercurile triunghiului ABC , opuse vârfurilor A , B și C , respectiv E A , E B , E C (vezi figura). Apoi cercul lui Apollonius E (prezentat cu verde în figura din dreapta) atinge în interior trei cercuri ale triunghiului ABC în punctele E A , E B și , respectiv, E C (vezi figura) [3] .

• Rezolvarea problemei specifice lui Apollonius menționată mai sus este cercul indicat E tangent la cele trei cercuri date E A , E B și E C în exterior.

Raza cercului lui Apollonius

Raza cercului lui Apollonius este , unde r  este raza cercului înscris și s  este jumătatea perimetrului triunghiului. [patru]

Definiția punctului Apollonius Ap

• Punctul Apollonius Ap sau X(181) din Encyclopedia of Triangle Centers , descris în 1987, este definit după cum urmează:

Fie A' , B' și C' punctele tangente ale cercului Apollonius E cu excercurile corespunzătoare. Apoi liniile AA' , BB' și CC' se intersectează într-un punct Ap , care se numește punctul Apollonius al triunghiului ABC .

• Coordonatele sale triliniare sunt:

Notă

În figură, punctul indicat al lui Apollonius Ap este prezentat ca punct de intersecție a trei perpendiculare pe laturile triunghiului ABC , coborâte din punctele de tangență A' , B' și C' cu excercurile corespunzătoare ale triunghiului ABC . , formată din liniile tangente unite în perechi ale celor trei cercuri menționate mai sus E A , E B și E C . Deși acest punct Ap se află în punctul de intersecție al celor trei segmente AA' , BB' și CC' , ele nu sunt perpendiculare pe laturile triunghiului. Într-adevăr, proiecțiile sale către laturile triunghiului ABC sunt vârfurile unui triunghi echilateral, iar perpendicularele pe laturile triunghiului se intersectează la ortocentrul acestuia. Proiecțiile ortocentrului pe laturile triunghiului nu sunt vârfurile unui triunghi echilateral. Ortocentrul și punctul Apollonius Ap coincid doar într-un triunghi echilateral. Alte triunghiuri nu se potrivesc.

Proprietate

• Triunghiul subdermic al punctului Apollonius este un triunghi echilateral .

Coordonate triliniare

Coordonatele triliniare ale punctului Apollonius Ap :

Vezi și

• Apollonius arată

Note

1. ↑ Kimberling, Clark Apollonius Point . Preluat: 16 mai 2012. (nedefinit)
2. ↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problema 1091 și soluția  //  Crux Mathematicorum : jurnal. - 1987. - Vol. 13 . - P. 217-218 .
3. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Cercul Apollonius ca un cerc Tucker // Forum Geometricorum. - 2002. - Emisiune. 2 . - S. 175-182 .
4. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. Cercul Apollonius și centrele triunghiului aferente // Forum Geometricorum. - 2003. - Emisiune. 3 . - S. 187-195. .