Problema lui Apollonius

Sarcina lui Apollonius  este să construiască un cerc tangent la trei cercuri date folosind o busolă și o linie dreaptă.

Problema se rezolva prin aplicarea a doua operatii: inversarea si trecerea la cercuri concentrice.

Istorie

Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Atinge” sub pseudonimul Epaphai (Ἐπαφαί=Epaphaí. „Tangencies”), care a fost pierdută, dar a fost restaurată în 1600 de François Vieta , „Apollonius galic”, așa cum l-au numit contemporanii săi. Lucrarea a fost menționată de Pappus din Alexandria în secolul al IV-lea.

În 1816,  J. Gergonne a dat o soluție elegantă problemei Apollonius.

Sistemele moderne de matematică pe calculator au operatori speciali pentru rezolvarea acestei probleme. În Maple , acesta este operatorul Apollonius din pachetul geometrie [1] .

Notă

În eseul său „Atingeți” Apollonius a avut în vedere cele trei cercuri ale geometriei de contact, adică cercuri cu raza de la 0 (punct) la infinit (linie dreaptă). Astfel, există 10 cazuri globale pentru problema Apollonius:

1. Folosește o busolă și o linie dreaptă pentru a desena un cerc tangent la trei puncte. Soluție: Conectați aceste puncte. Să desenăm perpendicularele mediane pe segmentele rezultate. Se vor intersecta la un moment dat. Acest punct este centrul cercului dorit.
2. folosind o busolă și o linie dreaptă, construiți un cerc tangent la două puncte (denumite în continuare Α și Β) și o dreaptă (denumită în continuare a). Să tragem mai întâi o linie dreaptă ΑΒ. Soluţie:
   1. Dacă AB nu este paralel cu a, atunci găsim intersecția lor C. Să construim media geometrică a segmentelor ΑС și ΒС. Să lăsăm deoparte segmentele СΚ și CK' egale cu el pe linia a. Cercurile circumscrise din jurul lui ΔΑΒΚ și ΔΑΒΚ' sunt cele dorite.
   2. Dacă ΑΒ||a, atunci trasăm bisectoarea perpendiculară pe segmentul ΑΒ și marchem punctul Κ al intersecției sale cu dreapta a. Cercul circumscris în jurul lui ΔΑΒΚ este cel necesar.
3. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la un punct și două drepte. Soluţie:
   1. Dacă liniile nu sunt paralele, atunci luați punctul de intersecție. Să numim unghiul dintre aceste drepte α. Să unim punctul de intersecție al dreptelor cu punctul dat Μ. Să numim segmentul rezultat a. Să înscriem în unghiul α un cerc arbitrar care intersectează a, și să marchem centrul lui Ο și punctul de intersecție cu a (fiecare va da propria soluție) Α. Să tragem o linie ΑΟ. Să trasăm o dreaptă paralelă cu ea prin Μ și bisectoarea unghiului α. Intersecția lor va fi centrul cercului dorit.
   2. Dacă dreptele sunt paralele, construim o dreaptă ΑΒ (Α și Β sunt puncte de intersecție cu dreptele date) perpendiculară pe acestea. Să desenăm bisectoarea perpendiculară b pe segmentul ΑΒ. Să desenăm un cerc centrat într-un punct dat și cu o rază egală cu jumătate ΑΒ. Intersecția sa cu b va fi centrul cercului dorit.
4. Construiți un cerc tangent la trei drepte folosind o busolă și o linie dreaptă. Soluţie:
   1. Dacă nu există paralele între ele, atunci marchem punctele de intersecție Α, Β și С. Cercul înscris în ΔΑΒС este cel necesar.
   2. Dacă doar 2 drepte sunt paralele, atunci singurul punct de intersecție al bisectoarelor unghiului format din liniile paralele și a treia dreaptă va fi centrul cercului dorit.
   3. Dacă toate cele trei linii sunt paralele între ele, atunci cercul nu există.
5. folosind o busolă și o linie dreaptă, construiți un cerc tangent la două puncte (denumite în continuare Α și Β) și cercul (denumit în continuare ω).
   1. Dacă A și B nu se află pe ω, atunci desenăm un cerc Ω care conține punctele A și B și având puncte comune cu ω. Desenați axa radicală Ω și ω și intersectați-o cu AB. Să desenăm o tangentă la ω din punctul de intersecție și să marchem punctul tangentei Κ. Să descriem un cerc în jurul lui ΔΑΒΚ. Ea este căutată. Fiecare tangentă va da propria soluție.
   2. Dacă numai A se află pe ω, atunci desenăm o tangentă la ω în punctul A și construim un punct B' simetric față de B față de A. În continuare, desenăm un cerc prin A, B și un punct simetric față de B' față de A. la tangenta trasă. Ea va fi căutată. Dacă B se află pe o tangentă, atunci un astfel de cerc nu există. Dacă BA este perpendiculară pe tangente, atunci cercul dorit este un cerc cu diametrul AB.
   3. Dacă A și B se află pe ω, ω este cel dorit.
6. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la un punct și două cercuri.
7. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la două drepte și la cerc.
8. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la o dreaptă și două cercuri.
9. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la un punct, o dreaptă și un cerc.
10. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la trei cercuri.

Despre decizii

• Cea mai cunoscută soluție se bazează pe utilizarea inversării .

Note

1. ↑ Kirsanov M. N. , Kuznetsova O. S.  Algebră și geometrie. Colectare de sarcini și soluții folosind sistemul Maple: un tutorial. — M. : Infra-M, 2016. — 272 p. — ISBN 978-5-16-012325-7 .

Literatură

• Argunov B. I., Balk M. B. . Construcții geometrice pe plan . - M . : Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• Pappus din AlexandriaPappus d'Alexandrie: La collection mathématique  (franceză) . - Paris, 1933.
• Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert  (germană) . - Berlin: Teubner, 1906. - S. 97-105.
• Camerer, JG Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia  (lat.) . - Gothae: Ettinger, 1795.

Link -uri

• Boyd, DWAmbalarea osculativă a unei sfere tridimensionale  // Canadian  Journal of Mathematics : jurnal. - 1973. - Vol. 25 . - P. 303-322 . - doi : 10.4153/CJM-1973-030-5 .
• Gisch D., Ribando JM Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections  //  American Journal of Undergraduate Research : jurnal. - 2004. - Vol. 3 . - P. 15-25 .
• Întreabă-l pe dr. Soluție matematică . mathforum. Preluat: 5 mai 2008. (nedefinit)
• Weisstein, problema lui Eric W. Apollonius  la Wolfram MathWorld .
• Austin, David. Când sărutul implică trigonometrie . Coloana Feature de pe site-ul web al Societății Americane de Matematică (martie 2006). Preluat: 5 mai 2008. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	mare danez