Produs Triple Jacobi

Produsul triplu Jacobi este o identitate matematică:

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\ stânga(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2 }}y^{2n},

pentru numere complexe x și y cu și . $|x|<1$ $y\neq 0$

Identitatea a fost propusă de Carl Gustav Jacobi Jacobi [1] în Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (New Principles in the Theory of Elliptic Functions).

Identitatea de produs triplu Jacobi este identitatea Macdonald pentru rădăcinile afine ale unui sistem de tip A 1 și este formula Weyl pentru numitorii pentru algebra Kac-Moody afină corespunzătoare .

Proprietăți

Dovada lui Jacobi se bazează pe teorema numerelor pentagonale a lui Euler , care este ea însăși un caz frecvent al identității produsului triplu Jacobi.

Lasă și . Atunci noi avem $x=q{\sqrt {q)}$ $y^{2}=-{\sqrt {q))$

\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2)).

Produsul triplu Jacobi permite, de asemenea, ca funcția Jacobi theta să fie rescrisă ca un produs infinit:

Lasă și $x=e^{i\pi \tau }$ $y=e^{i\pi z}.$

Apoi funcția Jacobi theta

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}

poate fi rescris sub formă

\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2)).

Folosind identitatea triplă a produsului Jacobi, putem scrie funcția theta ca produs

\vartheta (z;\tau)=\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau}\right)\ stânga[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\dreapta]\left[1+e^{(2m- 1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].

Există multe notații diferite folosite pentru a exprima produsul triplu Jacobi. Ia o formă scurtă atunci când este exprimată în termeni de simboluri q ale lui Pochhammer :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z));q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },

unde este simbolul infinit q -Pochhammer. ${\displaystyle (a;q)_{\infty ))$

Formula ia o formă deosebit de elegantă atunci când este exprimată în termenii funcției Ramanujan theta . Poate fi rescris pentru ea ca $|ab|<1$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)} {2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.

Dovada

Pentru cazul analitic, vezi cartea Apostolului [2] , a cărei prima ediție a fost publicată în 1976. Vezi și linkul de mai jos pentru o dovadă stimulată de fizicieni.

Note

↑ Jacobi, 1829 .
↑ Apostol, 1976 , p. teorema 14.6.

Literatură

Andrews GE O dovadă simplă a identității de produs triplu a lui Jacobi // Proc. amer. Matematică. Soc.. - Societatea Americană de Matematică , 1965. - V. 16 . — ISSN 0002-9939 .
Tom M. Apostol. capitolul 14, teorema 14.6 din // Introducere în teoria analitică a numerelor. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Texte de licență în matematică). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Peter J. Cameron. Combinatorică: subiecte, tehnici, algoritmi . - Cambridge University Press , 1994. - ISBN 0-521-45761-0 .
Jacobi CGJ Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum . — Retipărit de Cambridge University Press 2012, limba: latină. - Königsberg: Borntraeger, 1829. - ISBN 978-1-108-05200-9 .
Carlitz L. O notă despre formula Jacobi theta // Bull. amer. Matematică. Soc.. - Societatea Americană de Matematică , 1962. - V. 68 , Nr. 6 . - S. 591-592. .
Wright EM O dovadă enumerativă a unei identități a lui Jacobi // Journal of the London Mathematical Society. - London Mathematical Society , 1965. - T. s1-40 , nr. 1 . - S. 55-57 .

Link -uri

Scurtă dovadă combinatorie de identitate, stimulată de fizicieni.