Funcția Theta

Funcțiile Theta sunt funcții speciale ale mai multor variabile complexe . Ele joacă un rol important în multe domenii, inclusiv în teoria varietăților abeliene , a spațiilor de module și a formelor pătratice . Ele sunt aplicate și în teoria solitonilor . După generalizarea la algebra Grassmann , funcțiile apar și în teoria cuantică a câmpurilor [1] .

Cele mai comune tipuri de funcții theta sunt cele găsite în teoria funcțiilor eliptice . În ceea ce privește una dintre variabilele complexe (notate de obicei z ), funcția theta are proprietatea de a adăuga perioadele funcțiilor eliptice asociate, făcându-le cvasi-periodice . În teoria abstractă, aceasta este obținută din condiția pachetului de linii picăturii .

Funcția Jacobi theta

Există mai multe funcții înrudite, numite funcții Jacobi theta și multe sisteme de notație diferite și incompatibile. O funcție Jacobi theta (numită după Carl Gustav Jacobi ), este o funcție definită din două variabile complexe z și , unde z poate fi orice număr complex și este limitată la jumătatea superioară a planului , ceea ce înseamnă că numărul are un pozitiv parte imaginară. Funcția este dată de formula $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

unde si . Funcția este o formă Jacobi . Dacă fixăm , funcția devine o serie Fourier pentru o funcție periodică întreagă a lui z cu perioada 1. În acest caz, funcția theta satisface identitatea $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Funcția se comportă foarte regulat, ținând cont de cvasiperioada și satisface ecuația funcțională $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau;\tau)=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

unde a și b sunt numere întregi.

Funcții de ajutor

Funcția Jacobi theta definită mai sus este uneori luată în considerare împreună cu trei funcții theta suplimentare, caz în care este scrisă cu un indice suplimentar 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

Funcțiile suplimentare (semiperiodice) sunt definite de formule

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aliniat}}

Aceste notații au fost urmate de Riemann și Mumford . Formularea originală a lui Jacobi a fost în termeni de nome , nu . În notația Jacobi, funcțiile θ sunt scrise ca: $q=e^{i{\pi }\tau }$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}

Definițiile de mai sus ale funcției Jacobi theta sunt departe de a fi singurele. Vezi articolul Jacobi Theta functions (variations of notation) pentru mai multe discuții.

Dacă introducem funcțiile theta de mai sus, obținem patru funcții în funcție de și definite doar de semiplanul superior (care sunt uneori numite constante theta.) Acestea pot fi folosite pentru a defini diferite forme modulare și pentru a parametriza unele curbe. În special, identitatea Jacobi $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {patru}

este o curbă Fermat de gradul patru .

Identități Jacobi

Identitățile Jacobi descriu modul în care funcțiile theta sunt transformate de grupul modular , care este generat de mapări și . Identitățile pentru prima transformare sunt ușor de găsit, deoarece adăugarea uneia la exponentul k are același efect ca și adăugarea uneia la z ( mod 2). În al doilea caz, punem $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Apoi

{\begin{aliniat}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ aliniat}}

Theta funcționează în termeni de nume

În loc să exprimăm funcțiile theta în termeni de z și , le putem exprima în termenii argumentului w și a numelui q , unde și . În acest caz, funcțiile devin $\tau$ $w=e^{\pi {i}z)$ $q=e^{\pi {i}\tau }$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Vedem că funcțiile theta pot fi definite în termeni de w și q fără referire directă la funcția exponențială. Prin urmare, formulele pot fi utilizate pentru a defini funcții theta peste alte câmpuri în care funcția exponențială poate să nu fie definită peste tot, cum ar fi câmpul numerelor p -adice .

Reprezentări de lucrări

Produsul triplu Jacobi (un caz special al identităților Macdonald ) ne spune că pentru numerele complexe w și q cu și avem $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ stânga(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}} .

Acest lucru poate fi dovedit prin mijloace elementare, ca, de exemplu, în An Introduction to the Theory of Numbers a lui Hardy și Wright .

Dacă exprimăm funcția theta în termeni de volume și , atunci $q=e^{\pi {i}\tau }$ $w=e^{\pi {i}z)$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Prin urmare, obținem o formulă de produs pentru funcția theta a formei

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

În termeni de w și q :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aliniat))

unde este simbolul q -Pochhammer și funcția q -theta . Dacă parantezele sunt deschise, produsul triplu Jacobi va lua forma ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2) }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

care poate fi rescris și ca

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi) z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\dreapta).

Această formulă este valabilă pentru cazul general, dar este de interes deosebit pentru z real . Formule de produs similare pentru funcții theta suplimentare

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ stânga(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aliniat}}

Reprezentări întregi

Funcțiile Jacobi theta au următoarele reprezentări integrale:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Valori explicite

Vezi Yi (2004) [2] .

{\begin{aliniat}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac {3}{4}}\dreapta  )}}}\end{aliniat}}

Unele identități cu serie

Următoarele două identități pentru seriale au fost dovedite de Istvan Mezo [3] :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\right).\end{aliniat}}

Aceste relații sunt valabile pentru toți 0 < q < 1 . Fixând valorile q , obținem următoarele sume fără parametri

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }))} {2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ suma _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aliniat}}}

Zeros of Jacobi theta functions

Toate zerourile funcțiilor Jacobi theta sunt zerouri simple și sunt definite după cum urmează:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau)=\vartheta _{3}(z,\tau)&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ sfârşit{aliniat}}

unde m , n sunt numere întregi arbitrare.

Relația cu funcția zeta Riemann

Raport

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau ) )

a folosit Riemann pentru a demonstra ecuația funcțională pentru funcția zeta Riemann prin transformarea Mellin

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ mathrm {d} t}{t}}

și se poate arăta că transformarea este invariantă sub schimbarea lui s la 1 − s . Integrala corespunzătoare pentru z ≠ 0 este dată în articolul despre funcția zeta Hurwitz .

Conexiune cu funcția eliptică Weierstrass

Funcțiile Theta au fost folosite de Jacobi pentru a construi (într-o formă adaptată pentru a simplifica calculele) funcțiile eliptice ca părți parțiale ale celor patru funcții theta de mai sus și le-ar putea folosi și pentru a construi funcțiile eliptice Weierstrass , deoarece

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

unde derivata a doua este luată în raport cu z , iar constanta c este definită astfel încât seria Laurent a funcției ℘( z ) în punctul z = 0 are un termen constant zero.

Relația cu funcția q -gamma

A patra funcție theta - și apoi restul - este indisolubil legată de funcția Jackson q - gamma relația [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Relația cu funcția eta a lui Dedekind

Fie funcția Dedekind eta și argumentul funcției theta să fie reprezentat ca nom . Apoi $\eta (\tau )$ $q=e^{\pi {i}\tau }$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right )}{\eta (\tau )}},\end{aliniat}}

și

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Vezi și articolul despre funcțiile modulare Weber .

Modul eliptic

J-invariantul este egal

k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2)))

iar modulul eliptic suplimentar este

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Rezolvarea ecuației termice

Funcția Jacobi theta este o soluție fundamentală a ecuației de căldură unidimensională cu condiții la limită periodică spațială [5] . Luând real, și cu real și pozitiv t , putem scrie $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

ce rezolvă ecuația căldurii

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Această soluție theta este 1-periodică în x și tinde spre o funcție delta periodică sau pieptene Dirac în sensul distribuțiilor $t\la 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

Soluțiile generale pentru problema cu valorile inițiale periodice spațiale pentru ecuația căldurii pot fi obținute prin convoluția datelor inițiale cu funcția theta. $t = 0$

Legătura cu grupul Heisenberg

Funcția Jacobi theta este invariantă sub acțiunea unui subgrup discret al grupului Heisenberg . Această invarianță este prezentată în articolul despre reprezentarea theta a grupului Heisenberg.

Generalizări

Dacă F este o formă pătratică în n variabile, atunci funcția theta asociată cu F este

\theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m))

cu suma peste rețeaua numerelor întregi ℤ n . Această funcție theta este o formă modulară cu greutatea (pe un subgrup definit corespunzător) a grupului modular . Într-o expansiune serie Fourier ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta}}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

numerele se numesc numere de reprezentare a formei . $R_{F}(k)$

Funcția theta a lui Ramanujan

Funcția riemanniană theta

Lăsa

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)} \,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}

este mulțimea de matrici pătrate simetrice a căror parte imaginară este definită pozitivă . ℍ n este numit semi-spațiul superior Siegel și este analogul dimensional superior al semiplanului superior . Analogul n - dimensional al grupului modular este grupul simplectic Sp(2 n , ℤ ) . Pentru . Rolul analogului n -dimensional al subgrupurilor congruente îl joacă $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ mare \}}.

Atunci, dacă este dat , funcția Riemann theta este definită ca $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{) 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.

Aici, este un vector complex n -dimensional, iar superscriptul T înseamnă transpunere . Funcția Jacobi theta este atunci un caz special cu și , unde este semiplanul superior al lui . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

Funcția Riemann theta converge absolut și uniform pe submulțimi compacte . $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n)$

Ecuația funcțională a unei funcții

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

ceea ce este valabil pentru toți vectorii și pentru toți }} și . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Seria Poincare

Seria Poincaré generalizează seria theta la forme automorfe, așa cum se aplică grupurilor fuchsiane arbitrare .

Note

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , p. 381–400.
↑ Mező, 2013 , p. 2401–2410.
↑ Mező, 2012 , p. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , p. 431–450.

Literatură

Yousuke Ohyama. Relații diferențiale ale funcțiilor theta // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , nr. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sec. 16.27 urm. // Manual de funcții matematice . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Elemente ale teoriei funcţiilor eliptice. - Moscova: „Nauka” Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1970. - (Biblioteca de fizică și matematică a inginerului). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. cap. 6 // Suprafețele Riemann. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (discuție despre funcția Riemann theta)
Hardy GH , Wright EM O introducere în teoria numerelor. — al 4-lea. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Funcțiile unei variabile complexe. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Funcții Theta cu aplicații la suprafețele Riemann. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN ch. 21 // Un curs de analiză modernă. — al 4-lea. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (Istoria funcțiilor Jacobi θ )
Jinhee Yi. Identități ale funcției Theta și formulele explicite pentru funcția Theta și aplicațiile acestora // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
István Mező. O formulă q -Raabe și o integrală a celei de-a patra funcție Jacobi theta // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , nr. 2 . — S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
István Mező. Formule de duplicare care implică funcțiile theta Jacobi și funcțiile q -trigonometrice ale lui Gosper // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , nr. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Lectură pentru lecturi suplimentare

Funcții Theta, funcții eliptice Jacobi // Enciclopedia matematică / Vinogradov I. V. - Enciclopedia sovietică, 1985. - V. 5. - (Enciclopedii, dicționare, cărți de referință).
Prasolov VV, Solovyov Yu. P. Ecuații algebrice și funcții theta. — M .: MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. Funcții Theta în analiza complexă și teoria numerelor // Studii în teoria numerelor / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Evoluții în matematică). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schoeneberg. IX. Seria Theta // Funcții modulare eliptice. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Cuantizare, teoria clasică și cuantică a câmpului și funcții theta. - M. , 2003.

Link -uri

Moiseev Igor. Funcții eliptice pentru Matlab și Octave . (nedefinit)