Q Simbolul Pochhammer

Simbolul Q -Pochhammer , care este numit și factorial q deplasat [1] [2] , este analogul q al simbolului Pochhammer și este definit ca

(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1- aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})

în care

(a;q)_{0}=1

prin definitie. Simbolul Q -Pochhammer este elementul principal în construcția analogilor q . De exemplu, în teoria seriei hipergeometrice de bază , simbolul Pochhammer q joacă rolul pe care simbolul obișnuit Pochhammer îl joacă în teoria serii hipergeometrice generalizate .

Spre deosebire de simbolul obișnuit Pochhammer, simbolul q -Pochhammer poate fi extins la un produs infinit:

(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty}(1-aq^{k}).

Este o funcție analitică a lui q în interiorul cercului unitar și poate fi considerată ca o serie formală de putere a lui q . caz special

\varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty}(1-q^{k})

cunoscută sub numele de funcția Euler și joacă un rol important în combinatorică , teoria numerelor și teoria formelor modulare .

Identități

Produsul final poate fi exprimat în termeni de infinit:

(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},

care extinde definiția numerelor întregi negative n . Astfel, pentru n nenegativ avem

(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n))}=\prod _{k=1}^{n} {\frac {1}{(1-a/q^{k})}}

și

(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_ {n}}}.

Simbolul Q -Pochhammer este implicat în multe identități cu seria q , în special, în extinderea infinită a seriei

(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2 }}{(q;q)_{n}}}x^{n}

și

{\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q; q)_{n}}}

care sunt cazuri speciale ale teoremei q-binomului :

{\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.

Friedrich Karpelevich a găsit următoarea identitate (a se vedea articolul de Olshanetsky și Rogov [3] pentru dovadă):

{\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( -1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.

Interpretare combinatorie

Simbolul Q -Pochhammer este strâns legat de combinatoria enumerativă a partițiilor. Coeficientul la in $q^{m}a^{n)$

(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1)

este egal cu numărul de partiții m în cel mult n părți.

Deoarece aceasta este la fel cu împărțirea m în părți, fiecare dintre acestea nu depășind n , obținem următoarea identitate:

(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q )_{k}}}

ca în secțiunea de mai sus.

Coeficientul la in $q^{m}a^{n)$

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})

este egal cu numărul de partiții ale numărului m în n sau n -1 părți diferite.

Dacă eliminăm o partiție triunghiulară cu n - 1 părți dintr-o astfel de partiție, rămânem cu o partiție în cel mult n părți. Acest lucru dă o bijecție care păstrează greutatea între un set de partiții în n sau n - 1 părți diferite și un set de perechi constând dintr-o partiție triunghiulară care conține n - 1 părți și o partiție în cel mult n părți. Aceasta duce la identitate:

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j))}\right)a^{k}=\ suma _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}

descris de asemenea mai sus. Funcția inversă (în sensul 1/f) pentru apare într-un mod similar cu o funcție generatoare pentru funcția de partiție numerică , , care se extinde și în următoarele două serii q [4] : ${\displaystyle (q)_{\infty}:=(q;q)_{\infty ))$ $p(n)$

{\frac {1}{(q;q)_{\infty ))}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0 }{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q ;q)_{n}^{2}}}.

Teorema Q-binomului în sine poate fi demonstrată folosind puțin mai multă argumente combinatorii similare.

Convenția cu argumente multiple

Deoarece identitățile care folosesc simbolurile q ale lui Pochhammer folosesc adesea produsul multor simboluri, este o convenție să scrieți produsul ca un singur simbol cu mai multe argumente:

(a_{1},a_{2},\ldots, a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_ {n}\ldots (a_{m};q)_{n}.

Seria Q

O serie Q este o serie în care coeficienții sunt funcții ale lui q , de obicei sub formă de expresii cu [4] . Rezultatele timpurii se datorează lui Euler , Gauss și Cauchy . Un studiu sistematic a fost început de Eduard Heine (1843) [5] . $(a;q)_{n)$

Relația cu alte funcții q

Ținând cont de faptul că

\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,

definim analogul q al numărului n , cunoscut și sub numele de paranteză q sau numărul q al numărului n , să fie

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.

De aici putem defini q -analogul factorialului , q - factorial

${\big [}n]_{q}!$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q))$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q))$
	$={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1 }}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$

Din nou, se poate constata că factorialul obișnuit este egal cu limita, deoarece q tinde la 1. Acesta poate fi interpretat ca numărul de steaguri dintr-un spațiu vectorial n - dimensional peste un câmp cu q elemente și trecând q în limită la 1 oferă o interpretare a ordinii ca un steag într-un spațiu vectorial peste câmp cu un element .

Produsul numărului întreg negativ q - paranteze poate fi exprimat în termeni de q - factorial după cum urmează:

\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^ {n(n+1)/2}}}

Din factorii q se poate trece la definirea coeficienților q -binomiali , cunoscuți și ca coeficienți gaussieni , polinoame gaussiene sau coeficienți binomii gaussieni , după cum urmează

{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_ {q}!}},

de unde se vede uşor că triunghiul acestor coeficienţi este simetric în sensul că pentru toţi . ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\nm\end{bmatrix}}_{q}$ $0\leqslant m\leqslant n$

Se poate arăta că

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_ {q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k- 1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}

Din relațiile recursive anterioare se poate observa că următoarele variante ale teoremei -binomului sunt extensii în ceea ce privește acești coeficienți [6] : $q$

{\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{ q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(- q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j }\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q} (-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m \\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}

Se poate obține analogul q al funcției gamma , numită funcție q-gamma și definită ca

{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_ {\infty ))))

Funcția converge către funcția gamma obișnuită, deoarece q tinde spre 1 din interiorul discului. observa asta

\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)

pentru orice x și

\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.

pentru valori întregi nenegative ale lui n . Alternativ, funcția poate fi luată ca o extensie a factorului q în sistemul de numere reale.

Vezi și

Seria hipergeometrică de bază
Funcția gamma eliptică
funcția Jacobi theta
Simbolul Pochhammer
q-derivată
funcția q-theta
Teorema numerelor pentagonale
Rogers-Ramanujan Identities
Fracție continuă Rogers - Ramanujan
identitate q-Vandermonde

Note

↑ Koekoek, Swarttouw, 1998 , p. 7.
↑ Bakhtin, 2017 , p. 6-7.
↑ Olşanetsky, Rogov, 1996 .
↑ 12 Berndt , 2010 .
↑ Heine, 1847 .
↑ Olver și colab., 2010 , p. 421.

Literatură

Koekoek R., Swarttouw RF The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynoals and its -Analog // Facultatea de Matematică Tehnică și Informatică Raport 98-17. - Delft, Olanda: Technische Universiteit Delft, 1998. - P. 7.
Bakhtin A.B. Calculul discriminantului generalizat al unui polinom real . - Moscova, 2017. - S. 6-7. — (preprinturi ale IPM numite după M.V. Keldysh).
George Gasper, Mizan Rahman. Seria hipergeometrică de bază // Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale. — al 2-lea. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - V. 96. - ISBN 0-521-83357-4 .
Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. Schema Askey a polinoamelor ortogonale și analogii lui q .
Exton H. q-Funcții și aplicații hipergeometrice. - New York, Chichester: Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Olshanetsky M.A., Rogov V.-B.K. Funcții q Bessel modificate și funcții q Macdonald // Matem. Sâmbătă - 1996. - T. 187 , Nr. 10 . - S. 109-128 .
NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WJ Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Secțiunea 17.2: NIST, Cambridge University Press, 2010. - P. 421. - ISBN 978-0-521-19225-5 .
Berndt BC Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series în memoria lui K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 iunie 2009 / ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber și MJ Schlosser, eds. .. - Mysore: Societatea de matematică Ramanujan, 2010. - P. 31-51 .
Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Matematică.. - 1847. - T. 34 . - S. 285-328 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. q -Analog (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. q -Bracket (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. q -Factorial (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. q -Series (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. q -Binomial Coeficient (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .