Ecuația Meshchersky

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Ecuația Meshchersky este ecuația de bază în mecanica corpurilor de masă variabilă, obținută de I. V. Meshchersky în 1897 [1] pentru un punct material de masă variabilă (compoziție).

Ecuația este de obicei scrisă sub următoarea formă:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

Unde:

$M(t)$ este masa unui punct material, care se modifică datorită schimbului de particule cu mediul, la un timp arbitrar t;
${\mathbf v}$ este viteza de mișcare a unui punct material de masă variabilă;
${\mathbf F}$ - rezultanta forțelor exterioare care acționează asupra unui punct material de masă variabilă din mediul său extern (inclusiv, dacă aceasta se întâmplă, din partea mediului cu care schimbă particule, de exemplu, forțe electromagnetice - în cazul transferului de masă cu un mediu magnetic, rezistența mișcării mijlocului etc.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ este viteza relativă a particulelor de îmbinare;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ este viteza relativă a particulelor separate;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ și sunt rata de creștere a masei totale a particulelor atașate și, respectiv, rata de creștere a masei totale a particulelor separate. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Formula Tsiolkovsky poate fi obținută ca rezultat al rezolvării acestei ecuații.

Mărimea:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} {dt}}

numită „putere reactivă” .

De obicei [2] [3] [4] ecuația Meshchersky se obține pe baza ecuației pentru viteza de schimbare a impulsului sistemului de puncte materiale, care are forma:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

unde este impulsul sistemului, egal cu suma impulsurilor tuturor punctelor materiale care alcătuiesc sistemul și este rezultanta tuturor forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului. Mai jos este o derivare a ecuației folosind doar o astfel de abordare. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

Derivarea ecuației Meshchersky

Să considerăm un corp de masă variabilă . Lasă o masă mică să se alăture corpului într-o perioadă de timp , care a avut o viteză înainte de unire , și o masă mică se separă , a cărei viteză după separare devine egală cu . Ca sistem de interes pentru noi, vom lua în considerare toate cele trei organisme menționate. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

În conformitate cu legea conservării impulsului, impulsul sistemului la începutul și la sfârșitul procesului luat în considerare este același:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

unde este modificarea impulsului corpului principal datorită atât modificării vitezei sale, cât și modificării masei sale. $d(M{\vec {v)))$

Ținând cont de faptul că , din (1) obținem: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

Modificarea masei corpului principal este asociată cu și raportul , prin urmare, din (2) rezultă: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

După trecerea de la diferențiale la derivate și rearanjarea termenilor, (3) ia forma:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Introducând vitezele relative ale particulelor și egale cu și respectiv , și adunând rezultanta forțelor externe , obținem ecuația Meshchersky în forma sa finală. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Ecuația relativistă Meshchersky

Primele lucrări [5] dedicate studiului mișcării rachetelor ținând cont de efectele relativiste au fost lucrările lui Akkeret [6] și Zenger [7] .

La derivarea ecuației Meshchersky, potrivită pentru cazul vitezelor comparabile cu viteza luminii, se folosește expresia pentru impuls relativist . Ca urmare, ecuația ia forma: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\dreapta).

În această ecuație, în cazul general, nu se introduc viteze relative și , întrucât în cazul relativist adăugarea vitezelor se realizează diferit. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

Pentru cazul numai particulelor separate cu o viteză coliniară cu viteza rachetei, această ecuație se reduce la următoarea formă:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

unde este viteza particulelor în raport cu racheta. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Istoricul descoperirilor

Ecuația mișcării unui punct material de masă variabilă pentru cazul atașării (sau separării) particulelor a fost obținută și investigată temeinic în teza de master de IV Meshchersky, susținută la Universitatea din Sankt Petersburg la 10 decembrie 1897 [8] . Primul raport privind ecuația de mișcare a unui punct material de masă variabilă în cazul general al atașării și separării simultane a particulelor a fost făcut de I. V. Meshchersky la 24 august 1898 , la o reuniune a secțiunii de matematică și astronomie a celui de-al X-lea Congres al Naturaliştii şi doctorii ruşi din Kiev , a devenit larg cunoscut mai târziu, după lucrarea „Ecuaţiile de mişcare a unui punct de masă variabilă în cazul general”, publicată în „Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute” în 1904 [9] .

De în1851 _G.K.dupăcăremarcat

Note

↑ Kosmodemyansky A. A. „Activitatea științifică a lui Ivan Vsevolodovich Meshchersky” pp. 9-25 în cartea lui I. V. Meshchersky. Lucrări de mecanică a corpurilor de masă variabilă. Ed. 1. — M.: GITTL, 1949. p.13.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. — M .: Fizmatlit; Editura MIPT, 2005. - T. I. Mecanica. — S. 119-120. — 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Liceu, 1986. - S. 287-288. — 416 p.
↑ Irodov I. E. Legile fundamentale ale mecanicii. - M . : Şcoala superioară, 1985. - S. 41. - 248 p.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Fundamentele teoriilor macroscopice ale gravitației și electromagnetismului. - M .: Nauka, 1989. P. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (traducere rusă: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Lucrări despre mecanica corpurilor de masă variabilă. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1952. - P. 37.
↑ Meshchersky I. V. Lucrări despre mecanica corpurilor de masă variabilă. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1952. - P. 222.
↑ Dezvoltarea fundamentelor dinamicii unui sistem de compoziție variabilă și a teoriei propulsiei cu reacție. — M.: 1977
↑ „Studii de istoria fizicii și mecanicii”. Moscova: Nauka, 1986, p. 191-238

Literatură

Meshchersky I. V. „Dinamica unui punct de masă variabilă” // În carte. I. V. Meşcerski. Lucrări de mecanică a corpurilor de masă variabilă. Ed. al 2-lea. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. pp. 37-188.
Meshchersky I.V. , „Ecuațiile mișcării unui punct de masă variabilă în cazul general” // În carte. I. V. Meşcerski. Lucrări de mecanică a corpurilor de masă variabilă. Ed. al 2-lea. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. pp. 222-264.
Mikhailov G. K. „Despre istoria dinamicii sistemelor de compoziție variabilă” Izvestiya AN SSSR: Mecanica corpului rigid, 1975, nr.5, p. 41-51.
Mikhailov GK Despre istoria dinamicii sistemelor de compoziție variabilă și teoria propulsiei cu reacție. M.: Institutul de Probleme de Mecanică al Academiei de Științe a URSS, 1974.
Karagodin V. M. Fundamente teoretice ale mecanicii corpului cu compoziție variabilă. M.: Oborongiz, 1963. 178s.
Mecanica corpurilor de masă variabilă - un articol din Enciclopedia fizică
Kilchevsky N.A. Curs de mecanică teoretică. Volumul 1. M .: Nauka, 1977. Capitolul IV „Dinamica unui punct de masă variabilă” Paragraf 221. - Derivarea ecuației Meshchersky (pp. 433-435).
Aizerman M.A. Mecanica clasica. a 2-a ed. M.: Nauka, 1980. - 368s. Capitolul 3. Sectiunea 9. Aplicarea teoremelor fundamentale ale mecanicii la miscarea unui sistem de compozitie variabila. pp. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Mecanica teoretică (adăugiri la secțiunile generale). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 p. - ISBN 5-9221-0703-8 (Paragrafele 2.5. Cinematica unui sistem de compoziție variabilă. pp.71-77; 3.4. Mărimi dinamice de bază ale unui sistem de compoziție variabilă. pp.91-94; 6.2. Problema mișcarea centrului de masă în timpul interacțiunii unui corp cu pp. 170-172; 6.3. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem de compoziție variabilă. pp. 172-180; 6.6. Aplicarea teoremei asupra schimbarea energiei cinetice într-un sistem de compoziție variabilă. pp. 200-207; 7.2. Dinamica analitică a ecuației generale pentru un sistem de puncte de masă variabilă, pp. 215-227.)
Sedov L. I. Despre teoria relativistă a zborului rachetei // Matematică și mecanică aplicată - 1986. - V. 50, nr. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Fundamentele teoriilor macroscopice ale gravitației și electromagnetismului. — M.: Nauka, 1989. — 272 p. — ISBN 5-02-013805-3 . Capitolul III. paragraful 4. Teoria relativistă a zborului rachetei.

Link -uri

Borodovsky VN Rachete interne. Istorie și viitor