Ecuația gradului al șaselea

O ecuație de gradul șase este o ecuație algebrică cu gradul maxim 6. În general, se poate scrie astfel:

ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.

Deși unele forme particulare ale acestei ecuații, cum ar fi tripătrate sau bicubice, pot fi rezolvate grafic sau prin factorizare, o soluție analitică generală a acestei ecuații este necunoscută. Din teorema Abel-Ruffini rezultă că, în general, o ecuație de gradul 6 nu poate fi rezolvată în radicali .

Algoritmi de soluție

O încercare de a construi o teorie generală pentru rezolvarea unei ecuații de gradul șase a fost făcută pentru prima dată în 1886 de Frank Cole [1] . Algoritmii pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul cinci fuseseră propuși cu opt ani mai devreme , iar munca lui Cole a încercat să generalizeze metodele dezvoltate și la o ecuație de gradul șase.

Teoria ecuațiilor de grad mai mic de cinci se bazează pe anumite grupuri de transformări liniare ale unei variabile corespunzătoare grupelor Galois ale ecuației originale. Un astfel de grup de transformări pentru ecuația gradului al cincilea corespunde la 60 de operații ale grupului alternant . Pentru o ecuație de gradul șase, un astfel de grup de transformări trebuie să corespundă deja la 360 de operații ale grupului alternant , care pot fi reprezentate ca următoarea ecuație: $A_{5}$ $A_{6}$

z'={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta ))

unde z este un număr întreg congruent cu 0 , 1, 2, 3, 4, 5 sau . Cu o anumită alegere a parametrilor α, β, γ, δ, numărul z' va fi de asemenea un întreg. Se poate arăta că există exact 360 de astfel de seturi de parametri. Felix Klein a arătat că nu există grupuri finite de transformări liniare ale unei variabile care să satisfacă condițiile de mai sus. Numărul de variabile trebuie să fie de cel puțin trei în cazul general și de cel puțin patru dacă transformările liniare sunt scrise într-o formă omogenă. Aceste caracteristici conduc la faptul că, în practică, utilizarea algoritmilor pentru găsirea unei soluții la o ecuație de gradul al șaselea este nepractică [2] . $\infty \ {\mathrm {mod}}\ 6$

Formulare private

Ecuație triquadratică

O ecuație triquadratică este o ecuație algebrică de formă

x^{6}+ax^{3}+b=0

Prin substituție , se reduce la ecuația pătratică $t=x^{3}$

t^{2}+at+b=0

Ecuație bicubică

O ecuație bicubică este o ecuație algebrică de formă

x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c=0

Prin substituție , se reduce la ecuația cubică $t=x^{2}$

t^{3}+at^{2}+bt+c=0

Vezi și

Teorema Abel-Ruffini

Note

↑ Cole FN Contribuția la teoria ecuației generale de gradul VI // Amer . J Math. . - 1886. - Vol. 8 . - P. 265-286 .
↑ R. Bruce King. Capitolul 8. Dincolo de ecuația quintică // Dincolo de ecuația quartică . - Birkhäuser Boston, 2008. - P. 139-149. — 149 p. - (Clasici moderne Birkhäuser). — ISBN 0817648364 . Arhivat pe 22 iulie 2014 la Wayback Machine

Link -uri

Weisstein, Eric W. „Ecuația sextică” . De la MathWorld - O resursă web Wolfram.

Ecuații algebrice
Ecuație liniară Ecuație pătratică ecuația cubică Ecuația gradului al patrulea Ecuația gradului al cincilea Ecuația gradului al șaselea Ecuația gradului al șaptelea