Grupul Galois

Grupul Galois este grupul asociat cu extensia câmpului . Joacă un rol important în studiul extensiilor de câmp , în special în teoria Galois . Acest concept (în contextul grupului de permutare a rădăcinilor unui polinom ) a fost introdus în matematică de Evariste Galois în 1832.

Definiție

Fie câmpul K extensia Galois a câmpului P . O mapare unu-la-unu a unui câmp K pe sine însuși se numește automorfism dacă mapează suma la sumă și produsul la produs, adică dacă pentru orice elemente ale câmpului K egalitățile $f$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Grupul Galois pentru o extensie de câmp dată este colecția tuturor automorfismelor câmpului K care păstrează elementele câmpului P : . De obicei notat ca G ( K , P ) sau Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Proprietăți

Grupul Galois al unei extensii finite este finit . Ordinea sa (numărul de elemente) este egală cu gradul de expansiune [ K : P ].

Exemple

Dacă câmpul extins coincide cu cel inițial, atunci grupul Galois conține un singur element: unitatea (automorfismul identitar).
Pentru a extinde câmpul numerelor reale la câmpul tuturor numerelor complexe , grupul Galois conține 2 elemente: unitatea și conjugarea complexă .
Câmpul de extensie este format din numere de formă , unde a , b sunt numere raționale . Grupul Galois conține aici 2 elemente: unitatea și operația care schimbă semnul termenului al 2-lea cu . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Fie p un număr prim . Luați în considerare câmpurile finite și , dintre care primul este încorporat în mod natural în al doilea. Grupul Galois al acestei extensii este ciclic , este generat de automorfismul Frobenius . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $x\mapsto x^{p)$
Grupul Galois al unei ecuații algebrice [1] .

Considerăm o ecuație algebrică de gradul al patrulea . Permite următoarele transformări ale variabilei x : . Căci urmează , adică . Prin urmare, rezultă că . Aceasta înseamnă că ecuația poate fi transformată .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

P(y)=P(x)/x^{4)

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

Căci se dovedește . Împărțind această ecuație la originalul dă . Deci transformarea este permisă și de ecuația .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

În mod similar, pentru transformarea , se poate obține următoarea formulă de transformare: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Să demonstrăm acum că ecuația admite un grup infinit de transformări , unde iau toate valorile întregi (pozitive și negative) care nu sunt multipli de cinci. Mai întâi, să ne uităm la înlocuire . Din această egalitate rezultă că , ..., . Pentru a demonstra că ecuația admite un grup infinit de transformări pentru , este suficient să arătăm că transformarea este permisă . Pentru această transformare avem: . Valorile întregi negative se obțin prin aplicarea transformării . Este ușor de demonstrat că transformările rezultate formează un grup.

P(x)

y=x^{n)

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

x^{n}=x^{n-5)

P(x)

y=x^{n)

5\!\\nmid n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

Grupul construit de transformări transformă fiecare rădăcină a unei ecuații într-o rădăcină a aceleiași ecuații. Să urmărim acum cum exact fiecare rădăcină a ecuației este transformată sub influența acestui grup de transformări. Din cursul algebrei, se știe că rădăcinile ecuației sunt numere . Transformarea se traduce rădăcină în , rădăcină în , rădăcină în , rădăcină în . Substituția rezultată se notează cu . În mod similar, se poate demonstra că transformarea conduce la o substituție . Transformarea are ca rezultat o substituție . Transformările rămase nu dau noi substituții.

y=x^{n)

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

Astfel, grupul de transformări ale rădăcinilor ecuației induce un grup finit de ordinul patru, format din următoarele elemente: . Acest grup finit se numește grupul Galois al ecuației .

y=x^{n)

P(x)

1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

P(x)

Fie câmpul de împărțire a cercului de grad n . Grupul Galois al unei extensii circulare este izomorf cu grupul multiplicativ al inelului de reziduuri modulo n . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Aplicație

Extensii de câmp

Luați în considerare un lanț de extensii succesive de câmp: Construiți un grup Galois pentru câmpurile care sunt extreme în lanț: Conform teoremei principale a teoriei Galois , fiecare câmp intermediar din lanțul de extensii corespunde unui subgrup al grupului G , adică, un lanț de extensii de câmp poate fi asociat cu un lanț de subgrupuri imbricate, care se îngustează de la G la subgrupurile triviale . Dacă luăm în considerare toate câmpurile intermediare simultan (adică câmpurile de forma ), această corespondență este o bijecție din mulțimea câmpurilor intermediare în mulțimea subgrupurilor grupului Galois. Mai mult, subgrupurile corespunzătoare extensiilor normale sunt subgrupuri normale ale lui G și invers. $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ $G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\subset X\subset L_{n}$

Această corespondență ne permite să studiem extensiile finite ale câmpurilor folosind teoria grupurilor. De exemplu, rezultă imediat că numărul de câmpuri intermediare pentru o extensie normală dată este întotdeauna finit (ca și numărul de subgrupuri dintr-un grup finit).

Ecuații algebrice

Câmpul principal al unei ecuații algebrice este un set de numere care pot fi obținute din coeficienții acestei ecuații folosind operațiile de adunare , scădere , înmulțire și împărțire . Un câmp de descompunere este un set de numere care poate fi obținut folosind un număr finit al acelorași operații, bazat pe coeficienții și rădăcinile ecuației. Câmpul principal în cazul general este doar un subcâmp al câmpului de descompunere.

Se obișnuiește să se numească grupul Galois format din automorfisme ale câmpului de descompunere grupul Galois al acestei ecuații . Orice automorfism din grupul Galois G ( K , P ) mapează fiecare rădăcină a unui polinom arbitrar peste câmpul P înapoi la o rădăcină a aceluiași polinom. Astfel, grupul Galois al oricărei ecuații algebrice care nu are rădăcini multiple poate fi considerat ca un grup de permutare (așa îl considera Evarist Galois însuși ).

Note

↑ N. Kh. Ibragimov. O scurtă digresiune despre grupul Galois // ABC-ul analizei de grup. - M . : Knowledge, 1989. - S. 42.

Literatură

Teoria Artin E. Galois. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Teoria Postnikov M. M. Galois. — M .: Nauka, 1963. — 220 p.