Ecuațiile lui Appel

În mecanica clasică , ecuațiile lui Appel sunt considerate ca o formulare alternativă a ecuațiilor generale ale mișcării propuse de Newton. Descarcat de Paul Appel in 1900 [1] . În ciuda faptului că aceste ecuații sunt complet echivalente cu ecuațiile obținute din legile lui Newton și principiul celei mai mici acțiuni , ecuațiile lui Appell se dovedesc în unele cazuri a fi mai convenabile, în special atunci când sistemul este constrâns de constrângeri mecanice .

Formulare

Să fie dat un sistem mecanic de puncte materiale cu mase , căruia i se impun constrângeri geometrice (1) și cinematice liniare (2): $N$ $m_{1},m_{2},\dots ,m_{N}$

(unu)

f_{{\alpha }}({\mathbf {r}}_{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \alpha =1,.. .,d

(2)

\sum _{{\nu =1}}^{{N}}{\mathbf {A}}_{{\beta \nu }}({\mathbf {r}}_{1},..., {\mathbf {r}}_{N},t)\cdot {\mathbf {{\dot {r}}}}_{\nu }+A_{{\beta }}({\mathbf {r}} _{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g

Este necesar să se descrie mișcarea sistemului dacă forțele active sunt cunoscute (forțele care acționează asupra fiecărui punct depind de timp, locația tuturor punctelor și vitezele acestora), iar starea inițială a sistemului este cunoscută (poziția și vitezele tuturor punctelor în momentul inițial de timp). ${\mathbf {F}}_{1},...,{\mathbf {F}}_{N}$

Una dintre cele mai importante ipoteze despre un sistem mecanic, care este necesară pentru validitatea ecuațiilor Appel, este că reacțiile de constrângere emergente sunt presupuse a fi ideale, adică nu funcționează în total pe nicio deplasare virtuală a punctelor . a sistemului.

În cazul unui sistem holonomic, când constrângerile cinematice sunt absente sau integrabile (adică sunt reduse la constrângeri geometrice), ecuațiile Appell au forma:

(3)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{{k}}}}=G_{{k}}),\quad k=1,...,n

Unde

n=3N-d

este numărul de grade geometrice de libertate ale sistemului;

q_{1},...,q_{n}

- un sistem arbitrar de coordonate generalizate reciproc independente , parametrizând spațiul posibilelor poziții geometrice ale sistemului în orice moment (astfel, utilizarea acestor coordonate ține cont pe deplin de relațiile geometrice impuse sistemului);

G_{1},...,G_{n}

- "forțe generalizate" - coeficienți în extinderea muncii elementare a forțelor active pe o deplasare virtuală arbitrară :

\delta {\mathbf {r}}=(\delta {\mathbf {r}}_{1},...,\delta {\mathbf {r}}_{N})

\delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N }=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}

(4) este așa-numita „energie de accelerație”, în formula (3) valoarea este o funcție de timp, coordonate generalizate și derivatele lor de ordinul 1 și 2.

S={\frac {1}{2}}\sum _{{\nu =1}}^{{N}}m_({\nu }}{\mathbf {{\ddot {r}}}}_ {{\nu }}^{2}

S

În cazul neholonomic, ecuațiile Appel au practic aceeași formă (3), însă, în acest caz, formulele nu implică coordonate generalizate, ci pseudocoordonate, care se introduc astfel:

(5) .

{\dot {\pi }}_{k}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{{ik}}{\dot {q}}_{i}+\lambda _ {k},\quad k=1,...,ng

În aceste notații, punctul de deasupra numelui variabilei nu denotă operația de diferențiere în funcție de timp, ci face parte dintr-un singur nume de variabilă. Variabila , a cărei derivată în timp ar coincide cu expresia scrisă pentru orice căi ale mișcării sistemului, poate să nu existe, de aceea este denumită o pseudo-variabilă (sau o pseudo-coordonată). Toate formulele ulterioare vor include fie derivatele sale (cel puțin de ordinul întâi) sau diferențiale, astfel încât pseudoesența sa nu se va manifesta în niciun fel. $\pi _{k}$ $\pi _{k}$

Coeficienții și pot depinde de timpul și coordonatele punctelor. În plus, ele trebuie să îndeplinească condiția ca determinantul matricei de coeficienți pentru variabilele din sistemul liniar format din ecuațiile (5) și (2) (scrise în coordonate generalizate) să nu dispară. $\lambda _{{ik}}$ $\lambda _{{i}}$ ${\punct {q}}_{i}$

În cazul unui sistem nonholonomic, ecuațiile Appel au forma:

(6)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{{k}}}}=G_{{k}},\quad k=1,...,ng

Unde

n=3N-d

este numărul de grade geometrice de libertate ale sistemului;

\pi _{1},...,\pi _{{ng}}

— sistem de pseudo-coordonate;

G_{1},...,G_{{ng}}

- „forţe generalizate” - coeficienţi în extinderea muncii elementare a forţelor active: ;

\delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{ng)

funcția S este aceeași ca în (4), dar exprimată în termeni de variabile (în notarea variabilelor, doar unul dintre puncte este derivată în timp!).

t,q_{1},...,q_{n},{\dot {\pi }}_{1},...,{\dot {\pi }}_{{ng}},{\ ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{{ng}}

{\ddot {\pi }}_{i}

Pentru a obține un sistem complet de ecuații de mișcare ale sistemului, este necesar să adăugați ecuațiile constrângerilor cinematice (2) și formulele de pseudocoordonate (5) la ecuațiile Appel (6).

Note

↑ Appell, P. „Sur une forme générale des équations de la dynamique”. (franceză) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : revistă. - 1900. - Vol. 121 . —P . 310—? .

Literatură

Publicațiile lui P. Appel pe această temă

Lectură suplimentară

Beryozkin E. N. Cursul de mecanică teoretică - ediția a II-a, revizuită și completată - M. : Editura Universității de Stat din Moscova - 1974, 645 p.