Formula probabilității totale

Formula probabilității totale vă permite să calculați probabilitatea unui eveniment de interes prin probabilitățile condiționate ale acestui eveniment, presupunând anumite ipoteze, precum și probabilitățile acestor ipoteze.

Formulare

Fie dat un spațiu de probabilitate și un grup complet de evenimente incompatibile în perechi astfel încât $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}$

$\forall i \; \mathbb{P}\; (B_i) > 0;$
$\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;$
$\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$

Să fie evenimentul de interes pentru noi. Atunci obținem: $A\în {\mathcal {F}}$

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)

.

Notă

Formula probabilității totale are și următoarea interpretare. Fie o variabilă aleatoare cu distribuție $N$

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)

.

Apoi

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]

,

acestea. probabilitatea anterioară a unui eveniment este egală cu media probabilității sale posterioare .

Vezi și