Așteptarea condiționată

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Așteptarea matematică condiționată în teoria probabilității este valoarea medie a unei variabile aleatoare într-o anumită condiție (implementarea unor evenimente). Adesea, valoarea unei alte variabile aleatoare fixată la un anumit nivel, care poate fi legată de cea dată, acționează ca o condiție (dacă aceste variabile aleatoare sunt independente, atunci așteptarea matematică condiționată coincide cu așteptarea matematică (necondiționată). În acest caz, așteptarea matematică condiționată a unei variabile aleatoare , cu condiția ca variabila aleatoare să fi luat o valoare, se notează ca , respectiv, poate fi considerată ca o funcție a . Această funcție este numită funcție de regresie a unei variabile aleatoare de către o variabilă aleatoare și, prin urmare, așteptarea matematică condiționată se notează ca , adică fără a specifica o valoare fixă . $Y$ $X$ $X$ $E(Y|X=x)$ $X$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$

Așteptarea condiționată este o caracteristică a unei distribuții condiționate .

Definiții

Presupunem că ni se dă un spațiu de probabilitate . Fie o variabilă aleatoare integrabilă , adică . Fie de asemenea o σ-subalgebră a σ-algebrei . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV cu privire la σ-algebra

O variabilă aleatorie se numește așteptare condiționată în raport cu σ-algebra dacă ${\hat {X}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

${\hat {X}}$ măsurabil în raport cu . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

unde este indicatorul evenimentului (cu alte cuvinte, este funcția caracteristică a evenimentului-mult, al cărui argument este o variabilă aleatoare sau un rezultat elementar). Așteptările matematice condiționate se notează cu . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Exemplu. Să punem . Atunci este o σ-algebră și . Fie ca variabila aleatoare să aibă forma $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Apoi

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{matrice}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrice}}\dreapta.

UMO privind familia evenimentelor

Să fie o familie arbitrară de evenimente. Atunci așteptarea matematică condiționată se numește relativ ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

unde este sigma-algebra minimă care conține . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Exemplu. Lasa si . Apoi . Fie ca variabila aleatoare să aibă forma $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Apoi

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matrice}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matrice}}\dreapta.

ULV relativ la o variabilă aleatoare

Să fie o altă variabilă aleatoare. Atunci așteptarea matematică condiționată se numește relativ $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

unde este σ-algebra generată de variabila aleatoare . $\sigma (Y)$ $Y$

O altă definiție a ULV se referă la : $X$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Această definiție descrie în mod constructiv algoritmul pentru găsirea ULV:

găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare , luând ca constantă ; $X$ $Y$ $y$
Apoi, în expresia rezultată, înlocuiți înapoi cu o variabilă aleatorie . $y$ $Y$

Exemplu : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Probabilitate condiționată

Să fie un eveniment arbitrar și să fie indicatorul său. Atunci probabilitatea condiționată se numește relativ $B\în {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Note

Așteptarea condiționată este o variabilă aleatorie, nu un număr.
Așteptările matematice condiționate sunt definite până la evenimente cu probabilitate zero . Astfel, dacă și - aproape peste tot , atunci . După ce am identificat variabile aleatoare care diferă doar în cazul evenimentelor de probabilitate zero, obținem unicitatea așteptării matematice condiționate. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\hat {X}}_{1}={\hat {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Luând , obținem prin definiție: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

și în special, formula probabilității totale este valabilă :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Fie o σ-algebră să fie generată de o partiție . Apoi ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

În special, formula probabilității totale ia forma clasică:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

si in consecinta

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G)}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}\mathbb {P} (A \ mijlocul C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Proprietăți de bază

Dacă , atunci există o funcție Borel astfel încât ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \la \mathbb {R}$

{\hat {X}}=h(Y)

Așteptarea condiționată a unui eveniment este, prin definiție, egală cu $X$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Dacă a.s. , apoi a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Dacă independent de , atunci $X$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

În special, dacă variabile aleatoare independente, atunci $X Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Dacă sunt două σ-algebre astfel încât , atunci ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ mijlocul {\mathcal {G}}_{1}]

Dacă — este măsurabil și — este o variabilă aleatoare astfel încât , atunci $X$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\în L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

„Așteptările îndepărtează condiția”. Această regulă este valabilă pentru ULV în raport cu o variabilă aleatoare (ULV în acest caz va fi o variabilă aleatoare) și pentru probabilitatea condiționată în raport cu o variabilă aleatoare

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Proprietăți suplimentare

ULV pentru cantități discrete

Fie o variabilă aleatoare discretă a cărei distribuție este dată de funcția de probabilitate . Atunci sistemul de evenimente este o partiție și $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

unde înseamnă așteptarea matematică , luată în raport cu probabilitatea condiționată . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Dacă variabila aleatoare este , de asemenea, discretă, atunci $X$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

unde este funcția de probabilitate condiționată a unei variabile aleatoare în raport cu . $p_{X\mid Y}$ $X$ $Y$

ULV pentru variabile aleatoare absolut continue

Fie variabile aleatoare astfel încât vectorul să fie absolut continuu , iar distribuția sa este dată de densitatea de probabilitate . Să introducem densitatea condiționată , setarea prin definiție $X Y$ $(X,Y)^{\top }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mid Y}$

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

unde este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare . Apoi $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

unde funcția are forma $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

În special,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO în L 2

Se consideră spațiul variabilelor aleatoare cu moment al doilea finit . Acesta definește produsul scalar $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\forall X,Y\in L^{2}

si norma generata de acesta

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Mulțimea tuturor variabilelor aleatoare cu al doilea moment finit și măsurabile în raport cu , unde , este un subspațiu al . Apoi operatorul dat de egalitate $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\la L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

este operatorul de proiecție ortogonală pe . În special: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

Așteptarea condiționată este cea mai bună aproximare pătratică medie prin variabile aleatoare măsurabile: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $X$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

Așteptarea condiționată salvează produsul punctual:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

Așteptarea condiționată este idempotentă :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Vezi și

Distribuție condiționată

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție