Funcțiile Cebyshev

Funcțiile Chebyshev [K 1] sunt funcții teoretice ale numerelor și asociate cu distribuția numerelor prime și definite ca $\taxa)$ $\psi(x)$

\theta (x)=\sum \limits _{{p\leqslant x}}\ln p

și

\psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,

unde sunt numere prime și sunt numere naturale. $p$ $m$

Introdus de matematicianul rus Pafnuty Cebyshev .

Proprietăți

Definiția funcției psi Chebyshev poate fi scrisă în termenii funcției Mangoldt : . $\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)$
Funcțiile Cebyshev sunt legate prin relația (unde doar primii termeni sunt diferiti de zero), ceea ce implică relația asimptotică . $\psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x)))+\theta ({\sqrt[{3}]{x)))+\dots =\sum _ {n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x)))$ $\psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x)))$
Potentarea da: , . $e^{{\psi (x)}}=\operatorname {lcm}(1,2,...,[x])$ $e^{{\theta (x)}}=\prod \limits _{{p\leqslant x}}p$

Relația cu distribuția primelor

Funcțiile Cebyshev sunt legate de funcția de distribuție a numerelor prime : . $\psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x$
Pentru funcția psi Chebyshev, există formule explicite obținute prin analiza funcției zeta Riemann :

\psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{{\rho }}}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2 }}\ln(1-x^{{-2}}),

unde trece prin toate zerourile netriviale ale funcției zeta. $\rho$

Teorema de la Vallée-Poussin privind distribuția primelor în termeni de funcție psi este formulată după cum urmează:

\psi (x)=x+O(e^{{-c{\sqrt {\ln x)))))

Iar ipoteza Riemann este echivalentă cu afirmația

\psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}x)

Vezi și

postulatul lui Bertrand

Comentarii

↑ Spre deosebire de pronunția obișnuită a vechiului nume de familie nobiliar al omului de știință - Cebyshev [1] [2] [3] - cu accent pe prima silabă ( Chébyshev ), datorită tendinței caracteristice secolului XX de a separa numele de familie în -ov / -ev din adjectivele posesive originale [2 ] ._ _ _ _ _ _ _ _ fixează ortografia și pronunția lui [7][6][5][4]Cebyshev .

Note

↑ Cebyshev Pafnuty Lvovich / B.V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1978. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / redactor-șef A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 29). - În titlul articolului: " Cebyshev (pronunțat Cebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Prenume rusești / trad. din engleza. L. V. Kurkina , V. P. Neroznak , E. R. Squires ; ed. N. N. Popov . - M .: Progres, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Metode numerice: manual. — Ed. a II-a, corectată. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2011. - P. 33 [ Sistemul de funcții Cebyshev ], 465 [ Chebyshev set of steps ], 552 [ Cebyshev criterion ], 574 [ Cebyshev polinoame ] . — (Literatura educațională pentru universități). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Cebyshev [ Polinoame Cebyshev , formula Cebyshev ]; Cebyshevsky // Dicționar de ortografie rusă / Academia Rusă de Științe. Institutul Limbii Ruse . V. V. Vinogradova ; ed. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Ed. a 4-a, rev. si suplimentare - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Dicționare fundamentale ale limbii ruse). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Cebyshev Pafnyuty // Nume proprii în rusă: un dicționar de stres. - M . : Editura NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
^ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1982. - T. 22, nr. 1. - P. 142 [ Centrul de set Cebyshev ].
↑ Culegere matematică. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - P. 29 [ alternanta Cebyshev ] , 56-57 [ metoda Cebyshev ].

Literatură

Prahar, K. Distribuția numerelor prime = Primzahl Verteilung / per. cu el. A. A. Karatsupy. - M . : Mir, 1967. - 511 p.