Minkowski funcțional

Funcționala Minkowski este o funcțională care utilizează structura liniară a spațiului pentru a introduce topologia pe ea. Numit după matematicianul german Hermann Minkowski .

Definiție

Pentru orice spațiu vectorial ( real sau complex ) și submulțimea acestuia , funcționalitatea Minkowski este definită ca: $X$ $K$ $\ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )$

\mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

Se presupune că setul nu este, de asemenea, gol. În condiții suplimentare asupra funcționalului va avea proprietățile unui seminorm și anume: $0\în K$ $\{r>0\mid x\in rK\}$ $K$

din convexitate și simetrie urmează subaditivitatea , adică ; $K$ $\mu _{K}$ $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$
omogenitatea - pentru toți se realizează dacă - o mulțime echilibrată , adică pentru toți . $\mu _{K}(\alpha x)=|\alpha |\mu _{K}(x)$ $\alfa$ $K$ $\alpha K\subset K$ $|\alpha |\leqslant 1$

Proprietăți

Funcționala Minkowski poate fi folosită pentru a defini o topologie în spațiu, deoarece pentru mulțimile închise convexe care conțin 0 are proprietățile unui seminorm. De asemenea, vă permite să stabiliți o corespondență (una dintre manifestările dualității Minkowski ) între mulțimile din și , deoarece are proprietățile unei funcții suport în spațiul dual . Fie un spațiu euclidian cu dimensiuni finite . Pentru orice mulțime, mulțimea conjugată este introdusă ca o mulțime a cărei funcție suport pe vectori coincide cu : $K$ $X$ $X^{*}$ $X$ $K\subseteq X$ $K^{*}\subseteq X^{*}$ $s(p,K^{*})$ $p\în X$ $p_{K}$

\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)

Mai mult, pentru orice echilibrat convex închis avem : $K$

\ K^{{**}}=K

Această definiție poate fi extinsă și la spațiile reflexive cu dimensiuni infinite . În acest caz, însă, apare o oarecare complexitate, deoarece spațiul conține elemente care nu se află în . Este posibil să extindeți funcția de suport prin setarea egală cu 0 pentru astfel de vectori. Apoi, sub încorporare naturală , imaginea coincide cu (pentru convexitate și echilibru). $X^{{**}}$ $X$ $K^{*}$ $X\hookrightarrow X^{{**}}$ $K$ $K^{{**}}$

Vezi și

Alte manifestări ale dualității Minkowski:

Legendre transformare
principiul de referință

Literatură

Polovinkin ES , Balashov MV Elemente de analiză convexă și puternic convexă . — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .