Funcția Busemann

Funcția Busemann este un anumit tip de funcție pe un spațiu metric . În linii mari, funcția Busemann poate fi gândită ca „distanță până la un punct la infinit”.

Istorie

Aceste funcții au fost introduse de Busemann în studiul proprietăților globale ale spațiilor metrice [1] . Mai târziu, au fost folosite în teoria probabilității pentru a studia percolațiile asimptotice [2] .

Definiție

Fie un spațiu metric . Numim o rază o curbă care minimizează distanța peste tot pe lungimea ei, adică pentru toți în parametrizarea naturală, $(X,d)$ $\gamma \colon [0,\infty )\la X$ $t,t'\in [0,\infty )$

d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |)

Funcția Busemann pentru raza γ, , este definită ca limită $B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R}$

B_{\gamma}(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}

Note

Din inegalitatea triunghiului rezultă că $|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$

pentru orice . În același timp, funcția

x\în X

t\mapsto d(\gamma (t),x)-t

necrescătoare. Prin urmare, funcția Busemann este întotdeauna definită pentru orice rază .

\gamma

Pentru mari și fixe $t$ $X$ $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\aprox t+B_{\gamma }(x).$

Proprietăți

În spațiul Lobachevsky , liniile de nivel ale funcțiilor Busemann formează o horosferă .

Note

↑ Buseman G. The geometry of geodezics. — 1962.
↑ Hoffman, Christopher. „Coexistența pentru modelele de creștere spațială concurente de tip Richardson”. Analele probabilității aplicate 15.1B (2005): 739-747.