Spațiul Lobaciovski

Spațiul Lobachevsky sau spațiu hiperbolic - un spațiu cu curbură negativă constantă . Spațiul bidimensional Lobaciovski este planul Lobaciovski .

Curbura negativă distinge spațiul Lobachevsky de spațiul euclidian cu curbură zero, descris de geometria euclidiană , și de o sferă - un spațiu cu curbură pozitivă constantă, descris de geometria Riemann .

Spațiul Lobaciovsky n - dimensional este de obicei notat cu sau . $\mathbb {H} ^{n)$ ${\Lambda}^{n)$

Definiție

Un spațiu Lobachevsky n - dimensional este o varietate Riemanniană n - dimensională pur și simplu conectată cu curbură secțională negativă constantă.

Modele spațiale hiperbolice

Spațiul Lobaciovski, care a fost explorat independent de Nikolai Ivanovich Lobachevsky și Janos Bolyai , este un spațiu geometric asemănător cu spațiul euclidian , dar axioma de paralelism a lui Euclid nu este satisfăcută în el. În schimb, axioma paralelismului este înlocuită cu următoarea axiomă alternativă (într-un spațiu de dimensiunea doi):

Având în vedere orice dreaptă L și un punct P care nu este pe dreapta L , atunci există cel puțin două drepte distincte prin P care nu se intersectează cu L .

Aceasta implică teorema că există infinit de astfel de drepte care trec prin P . Axioma nu definește în mod unic planul Lobachevsky până la mișcare , deoarece este necesar să se stabilească o curbură constantă K < 0 . Totuși, axioma definește planul până la homotezie , adică până la transformări care modifică distanțele cu un factor constant fără rotație. Dacă se poate alege o scară de lungimi adecvată, atunci se poate presupune fără pierdere de generalitate că K = −1 .

Este posibil să se construiască modele de spații Lobachevsky care pot fi încorporate în spații plate (adică euclidiene). În special, din existența modelului spațial Lobachevsky în euclidiană rezultă că axioma paralelismului este logic independentă de alte axiome ale geometriei euclidiene.

Există mai multe modele importante ale spațiului Lobachevsky - modelul Klein , modelul hiperboloid, modelul Poincaré într-o minge și modelul Poincaré în semiplanul superior. Toate aceste modele au aceeași geometrie în sensul că oricare două dintre ele sunt conectate printr-o transformare care păstrează toate proprietățile geometrice ale spațiului hiperbolic pe care îl descriu.

Model hiperboloid

Modelul hiperboloid realizează spațiul Lobachevsky ca un hiperboloid în . Un hiperboloid este locul punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1, ...,n\}$ $\mathbb {H} ^{n)$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

În acest model, o linie (adică, de fapt, o geodezică ) este o curbă formată dintr-o intersecție cu un plan care trece prin originea la . $\mathbb {H} ^{n)$ $\R^{n+1}$

Modelul hiperboloid este strâns legat de geometria spațiului Minkowski . formă pătratică

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

care definește un hiperboloid, vă permite să specificați forma biliniară corespunzătoare

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

Spațiul echipat cu forma biliniară B este spațiul Minkowski ( n +1)-dimensional . $\R^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$

Se poate defini o „distanță” pe un model hiperboloid definind [1] distanța dintre două puncte x și y pe ca $\mathbb {H} ^{n)$

d(x,y)=\operatorname {arch} B(x,y).

Această funcție este o metrică, deoarece axiomele unui spațiu metric sunt îndeplinite pentru ea . Se păstrează sub acţiunea grupului Lorentz ortocronic O + ( n ,1) pe . Prin urmare, grupul Lorentz ortocronic acționează ca un grup de automorfisme care păstrează distanța , adică mișcări . $\mathbb {R} ^{n,1}$ $\mathbb {H} ^{n)$

Modelul lui Klein

Un model alternativ al geometriei lui Lobachevsky este o anumită zonă din spațiul proiectiv . Forma pătratică Minkowski Q definește o submulțime , definită ca mulțime de puncte pentru care x este în coordonate omogene . Regiunea U n este modelul Klein al spațiului Lobaciovski. $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ $Q(x)>0$

Liniile drepte din acest model sunt segmente deschise ale spațiului proiectiv ambiental care se află în U n . Distanța dintre două puncte x și y din U n este definită ca

d(x,y)=\operatorname {arc} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\dreapta).

Această distanță este bine definită pe un spațiu proiectiv, deoarece numărul nu se modifică atunci când toate coordonatele se modifică de același factor (până la care sunt definite coordonatele omogene). ${\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y))))$

Acest model este legat de modelul hiperboloid în felul următor. Fiecare punct corespunde dreptei L x prin originea prin definirea unui spațiu proiectiv. Această linie intersectează hiperboloidul într-un singur punct. Dimpotrivă: prin orice punct de pe trece o singură dreaptă care trece prin origine (care este un punct din spațiul proiectiv). Această corespondență definește o bijecție între U n și . Aceasta este o izometrie, deoarece calculul lui d ( x , y ) de-a lungul reproduce definiția distanței în modelul hiperboloid. $x\in U^{n}$ $\R^{n+1}$ $\mathbb {H} ^{n)$ $\mathbb {H} ^{n)$ $\mathbb {H} ^{n)$ $Q(x)=Q(y)=1$

Modelul Poincaré într-o minge

Există două modele strâns legate de geometria lui Lobachevsky în euclidiană: modelul Poincaré în minge și modelul Poincaré în semiplanul superior.

Modelul bilei ia naștere dintr-o proiecție stereografică a unui hiperboloid într- un hiperplan . Mai multe detalii: fie S un punct cu coordonatele (−1,0,0,...,0) - polul sudic pentru proiecția stereografică. Pentru fiecare punct P de pe hiperboloid, fie P ∗ singurul punct de intersecție al dreptei SP cu planul . $\R^{n+1}$ $\{x_{0}=0\}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$ $\mathbb {H} ^{n)$ $\{x_{0}=0\}$

Aceasta setează harta bijectivă la bila unității $\mathbb {H} ^{n)$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

în plan { x 0 = 0}.

Geodezicele din acest model sunt semicercuri perpendiculare pe limita sferei B n . Izometriile bile sunt formate prin inversiuni sferice în raport cu hipersferele perpendiculare pe graniță.

Modelul Poincaré în semiplanul superior

Modelul semiplanului superior se obține din modelul Poincaré în minge prin aplicarea unei inversări centrate pe limita modelului Poincaré B n (vezi mai sus) și cu o rază egală cu dublul razei modelului.

Această transformare mapează cercuri cu cercuri și linii (în acest din urmă caz - dacă cercul trece prin centrul de inversare) - și, în plus, este o mapare conformă . Prin urmare, în modelul semiplanului superior, geodezicele sunt liniile drepte și (semi)cercurile perpendiculare pe limita hiperplanului.

Varietăți hiperbolice

Orice varietate completă , conexă , simplu conectată de curbură negativă constantă −1 este izometrică față de spațiul Lobaciovsky . Ca urmare, acoperirea universală a oricărei varietăți închise M de curbură negativă constantă −1, adică varietatea hiperbolice , este . Atunci orice astfel de varietate M poate fi scrisă ca , unde este un grup discret de izometrie fără torsiune pe . Adică este o rețea în SO + ( n ,1) . $\mathbb {H} ^{n)$ $\mathbb {H} ^{n)$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {H} ^{n)$ $\Gamma$

Suprafețele Riemann

Suprafețele hiperbolice bidimensionale pot fi înțelese și ca suprafețe Riemann . Conform teoremei de uniformizare, orice suprafață Riemann este eliptică , parabolică sau hiperbolică . Majoritatea suprafețelor hiperbolice au un grup fundamental non-trivial . Grupurile care apar în acest fel sunt numite fuchsiane . Spațiul coeficient al semiplanului superior față de grupul fundamental se numește modelul fuchsian al unei suprafețe hiperbolice. Semiplanul superior Poincare este , de asemenea, hiperbolic, dar pur și simplu conectat și nu compact . Prin urmare, este o acoperire universală a altor suprafețe hiperbolice. $\pi _{1}=\Gamma$ $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$

O construcție similară pentru suprafețele hiperbolice tridimensionale este modelul Klein .

Vezi și

Podul de rigiditate
Varietate hiperbolică
Hyperbolic 3-manifold
Formula Murakami-Yano
Pseudosferă
Suprafata Dini

Note

↑ Această expresie este asemănătoare metricii cordale de pe sferă, în care expresia este similară, dar se folosesc funcții trigonometrice în locul celor hiperbolice.

Literatură

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Note despre geometria hiperbolică // Strasbourg Master class on Geometry . - Zürich: Societatea Europeană de Matematică (EMS), 2012. - Vol. 18. - P. 1-182. — (Prelegeri IRMA de matematică și fizică teoretică). — ISBN 978-3-03719-105-7 . - doi : 10.4171/105. .
John G. Ratcliffe. Fundamentele varietatilor hiperbolice . — New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Geometrie hiperbolică pe un hiperboloid // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . — P. 442–455 .
Iosif un lup. Spații de curbură constantă . - 1967. - P. 67. Traducere:
- Wolf J. Spații de curbură constantă. - M. : „Nauka”, 1982.
Diagramele Voronoi hiperbolice sunt ușor de făcut, Frank Nielsen

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc