Funcția de incertitudine

Funcția de incertitudine (FN) este o funcție bidimensională care reprezintă dependența răspunsului filtrului potrivit la un semnal deplasat în timp și în frecvență în raport cu semnalul potrivit cu acest filtru. Cu alte cuvinte, caracterizează gradul de diferență în răspunsurile filtrului la semnale cu întârziere (gamă) și frecvență (viteză radială) diferite. Folosit pentru a analiza rezoluția semnalelor în termeni de rază și viteza radială în radar. ${\chi \left(\tau,f\right)}$ ${\tau )$ ${\Delta f)$ ${s\stânga(t\dreapta))$

Funcția de incertitudine este integrala de corelație

\chi (\tau,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt

(unu)

unde * este operația de conjugare complexă; este o unitate imaginară. ${i)$

Derivarea expresiei

Operația principală în filtrarea potrivită este calculul integralei de corelație încrucișată între semnalul primit și cel așteptat (optim pentru filtru) $f\stanga(t\dreapta)$ $s\stânga(t\dreapta)$

y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{f\left(\tau \right)s^{*}\left(\tau -t\ dreapta)d\tau }

Să presupunem că semnalul primit are o deplasare Doppler determinată de viteza țintă și este dat de . Apoi răspunsul filtrului potrivit este definit ca $\Delta f$ $f\left(t\right)=s\left(t\right)e^{i2\pi \Delta ft)$

y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty {s\left(\tau \right)e^{i2\pi \Delta f\tau}s ^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }

După ce am făcut schimbarea variabilelor , putem în sfârșit să scriem $t=\tau$ $\tau=t$

\chi (\tau,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt

De remarcat că există și alte forme de scriere a expresiei pentru funcția de incertitudine, care sunt valoarea absolută a expresiei (1) sau pătratul acesteia.

Proprietățile funcției de incertitudine

Valoarea maximă a FN este situată în punctul de origine și este cantitativ egală cu $\left(\tau =0,\Delta f=0\right)$ $E$

\left|\chi \left(\tau,\Delta f\right)\right|\leq \left|\chi \left(0,0\right)\right|=E

unde este energia semnalului. $E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{({\left|s\left(t\right)\right|}^{2}}dt}$

Modulo FN este simetric față de origine

\left|\chi \left(\tau,\Delta f\right)\right|=\left|\chi \left(-\tau ,-\Delta f\right)\right|

Volumul pătratului modulului FN este constant și egal cu . ${{E}^{2)}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|\chi \left(\tau,\Delta f \right)\right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}

Dacă este transformata Fourier a semnalului , atunci, conform teoremei Parseval , funcția de incertitudine poate fi reprezentată ca $Sf)$ $Sf)$

\chi (\tau,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }S^{*}(f)S(f-\Delta f)e^{-i2\pi f\tau}\,df

Funcțiile de incertitudine ale unor semnale

Ideal FN

Un FN ideal este o funcție delta

\chi (\tau,\Delta f)=\delta (\tau)\delta (\Delta f)

având o valoare infinită într-un punct și zero în toate celelalte cazuri. Un FN ideal oferă cea mai bună rezoluție pentru două ținte infinit apropiate. Este o idealizare matematică. Un exemplu de semnal cu un FN ideal ar fi un semnal cu o lățime infinită a spectrului. $(0,0)$

Puls dreptunghiular

Durata impulsului dreptunghiulară normalizată a modulului FN , dată ca $T$

s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)

unde este o funcție dreptunghiulară , bazată pe expresia (1) are forma $\mathrm {rect()}$

\left|\chi (\tau,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T))\right){\ frac {\sin \left(\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T\Delta f\left(1-\left| \tau \right|/T\right)}}\right|

Secțiunea transversală FN de-a lungul axei timpului la este determinată de expresie $\Delta f=0$

\left|\chi (\tau ,0)\right|={\begin{cases}1-{\frac {\left|\tau \right|}{T)),&|\tau |\ leq T\\0,&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}

Secțiunea transversală a FN de-a lungul axei frecvenței la este determinată de expresie $\tau=0$

\left|\chi (0,\Delta f)\right|=\left|{\frac {\sin(\pi T\Delta f)}{\pi T\Delta f))\right|

impuls de ciripit

Fie ca impulsul de ciripit să fie dat de expresie

s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)e^{i\pi \ mu t^{2}}

unde este panta ciripitului; — abaterea de frecvență. Apoi modulul FN este definit ca $\mu =\pm {B}/{T}$ $B$

\left|\chi (\tau,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T))\right){\ frac {\sin \left(\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)} {\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)))\right|

la . $\left|\tau \right|\leq T$

Literatură

Dudnik, P. I. Complexe și sisteme radar de aviație: un manual pentru studenții și cadeții universităților din Forțele Aeriene / P. I. Dudnik, G. S. Kondratenkov, B. G. Tatarsky, A. R. Ilchuk, A. A. Gerasimov. Ed. P. I. Dudnik. — M.: Ed. VVIA ei. prof. NU. Jukovski, 2006. - 1112 p. — ISBN 5-903111-15-7 .
Lezin, Yu. S. Introducere în teoria și tehnologia sistemelor de inginerie radio: Proc. indemnizație pentru universități. - M .: Radio și comunicare, 1986. - 280 p.
Mahafza, BR Analiza și proiectarea sistemelor radar folosind MATLAB / Bassem R. Mahafza. - CHAPMAN & HALL / CRC, 2000. - 532 p. — ISBN 1-58488-182-8 .