Simetria centrală

Simetria centrală față de punctul A este transformarea spațiului care duce punctul X într-un astfel de punct X ′ încât A este punctul de mijloc al segmentului XX ′ . Simetria centrală centrată în punctul A este de obicei notată cu , în timp ce notația poate fi confundată cu simetria axială . O figură se numește simetrică față de punctul A dacă pentru fiecare punct al figurii și punctul simetric față de punctul A aparține acestei figuri. Punctul A se numește centrul de simetrie al figurii. Se spune că figura are, de asemenea, simetrie centrală. $Z_{A}$ $S_{A}$

Alte nume pentru această transformare sunt simetria cu centrul A . Simetria centrală în planimetrie este un caz special de rotație , mai precis, este o rotație cu 180 de grade .

Notație vectorială

Fie G operatorul de simetrie centrală, punctul A este dat de vectorul rază , iar punctul de transformat este dat de vectorul rază . Apoi este valabilă următoarea formulă: ${\vec {r_{A}}}$ ${\vec {x}}$ $G({\vec {x)))=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}$

Definiții înrudite

Dacă figura intră în ea însăși cu simetria în jurul punctului , atunci ei numesc centrul de simetrie al acestei figuri, iar figura în sine este numită simetrică centrală . $A$ $A$

Proprietăți

Simetria centrală este mișcarea (izometria) .

În spațiul n -dimensional, dacă transformarea R este o reflexie succesivă față de n hiperplanuri reciproc perpendiculare , atunci R este o simetrie centrală față de un punct comun al acestor hiperplanuri. Prin urmare:
- În spațiile cu dimensiuni pare, simetria centrală păstrează orientarea , dar în spațiile cu dimensiuni impare nu o face.

Simetria centrală poate fi reprezentată și ca o homotezie cu centrul A și coeficientul −1 ( ). $H_{A}^{{-1}}$

Compoziția a două simetrii centrale este o translație paralelă de către un vector dublat de la primul centru la al doilea: $Z_{A}\circ Z_{B}=T_{{2{\vec {AB))))$

În spațiul unidimensional (pe linie), simetria centrală este simetria în oglindă .

Pe un plan (în spațiul bidimensional), o simetrie centrată pe A este o rotație de 180° centrată pe A ( ). Simetria centrală în plan, ca și rotația, păstrează orientarea . $R_{A}^{{180}}$

Simetria centrală în spațiul tridimensional poate fi reprezentată ca o compoziție de reflexie în jurul unui plan care trece prin centrul de simetrie, cu o rotație de 180° în jurul unei drepte care trece prin centrul de simetrie și perpendiculară pe planul de reflexie menționat anterior.

În spațiul cu 4 dimensiuni, simetria centrală poate fi gândită ca fiind compoziția a două rotații de 180° în jurul a două plane reciproc perpendiculare (perpendiculare într-un sens 4-dimensional, vezi Perpendicularitatea planurilor în spațiul 4-dimensional ) care trec prin centrul de simetrie .

Vezi și

Literatură

Centrul Bobylev D.K. , în fizică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Centrul Selivanov D.F. , în geometrie // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.