Distribuitor central

Varietatea centrală a unui punct singular al unei ecuații diferențiale ordinare autonome este o varietate invariantă în spațiul fazelor care trece prin punctul singular și tangentă la subspațiul central invariant al liniarizării ecuației diferențiale. [1] Un obiect important de studiu în teoria ecuațiilor diferențiale și a sistemelor dinamice . Într-un sens, întreaga dinamică netrivială a sistemului din vecinătatea punctului singular este concentrată pe varietatea centrală. [2]

Definiție formală

Să considerăm o ecuație diferențială autonomă cu punctul singular 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

unde , este un operator liniar, este o funcție lină a clasei , și și . Cu alte cuvinte, este liniarizarea câmpului vectorial la punctul singular 0. $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $A$ $f(x)$ $C^{k+1}$ $f(0)=0$ $Df(0)=0$ $Topor$

subspațiu	titlu	spectrul A
$T^{s}$	stabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	instabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	central ( centru )	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Conform rezultatelor clasice ale algebrei liniare , un spațiu liniar se descompune într-o sumă directă de trei subspații invariante , unde sunt determinate de semnul părții reale a valorilor proprii corespunzătoare (vezi tabelul) $A$ $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c)$ $T^{s},T^{u},T^{c}$

Aceste subspații sunt varietăți invariante ale unui sistem liniarizat a cărui soluție este un exponent de matrice . Rezultă că dinamica sistemului în vecinătatea unui punct singular este apropiată în proprietățile sale de dinamica unui sistem liniarizat. Mai precis, următoarea afirmație este adevărată: [3] [4] ${\dot {x}}=Toporul$ $x(t)=e^{La}x_{0}$

Teorema (pe varietatea centrală).

Să presupunem că partea dreaptă a ecuației diferențiale (*) aparține clasei , . Apoi, în vecinătatea punctului singular, există varietăți și clase și , respectiv, invariante sub fluxul de fază al ecuației diferențiale. Ele ating la origine subspațiile și și sunt numite varietăți stabile , instabile și , respectiv, centrale . $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ $W^{c}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

În cazul în care partea dreaptă a ecuației (*) aparține clasei , varietățile și , de asemenea, aparțin clasei , dar varietatea centrală , în general, poate fi doar finit netedă. Mai mult, pentru orice număr arbitrar mare, varietatea aparține clasei dintr-o vecinătate care se contractă la un punct singular la , astfel încât intersecția tuturor vecinătăților constă numai din punctul singular însuși [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle W^{s))$ $W^{u}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $W^{c}$ $k$ $W^{c}$ $C^{k}$ $Regatul Unit$ $k\to\infty$ $Regatul Unit$

Varietățile invariante stabile și instabile sunt numite și hiperbolice , sunt definite în mod unic; în același timp, o varietate centrală locală nu este definită în mod unic. Evident, dacă sistemul (*) este liniar, atunci varietățile invariante coincid cu subspațiile invariante corespunzătoare ale operatorului . $A$

Exemplu: punct de șa

Punctele singulare nedegenerate din plan nu au o varietate centrală. Luați în considerare cel mai simplu exemplu de punct singular degenerat: un nod de șa al formei

${\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}$

Varietatea sa instabilă coincide cu axa Oy și constă din două separatoare verticale și și punctul singular în sine. Curbele de fază rămase sunt date de ecuație $\{x=0,y>0\}$ $\{x=0,y<0\}$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

unde . $y(x_{0})=y_{0}$

Este ușor de observat că în semiplanul stâng singura curbă de fază care tinde spre punctul singular coincide cu raza axei Ox . În același timp, în semiplanul drept există infinit de multe curbe de fază ( continuum ) care tind spre zero - acestea sunt grafice ale funcției y(x) pentru orice și orice . Datorită faptului că funcția y(x) este plată la zero, putem compune o varietate invariantă netedă din raza , punctul (0, 0) și orice traiectorie în semiplanul drept. Oricare dintre ele va fi local varietatea centrală a punctului (0, 0). [6] $\{x<0,y=0\}$ $x_{0}>0$ $y_0$ $\{x<0,y=0\}$

Colectivități centrale globale

Dacă luăm în considerare ecuația (*) nu într-o vecinătate a punctului singular 0, ci în întreg spațiul fazelor , putem defini varietatea centrală globală . Informal vorbind, poate fi definit ca o varietate invariantă ale cărei traiectorii nu tind spre infinit (în timp înainte sau înapoi) de-a lungul direcțiilor hiperbolice. În special, varietatea centrală globală conține toate traiectoriile mărginite (și, prin urmare, toate ciclurile limită , punctele singulare , conexiunile separatrice etc.) [7] $\mathbb {R} ^{n}$

Luați în considerare proiecțiile spațiului pe subspațiile invariante corespunzătoare ale operatorului . De asemenea, definim un subspațiu și o proiecție pe el. Varietatea centrală este mulțimea de puncte din spațiul fazelor astfel încât proiecția traiectoriilor pornind de la , pe subspațiul hiperbolic, este mărginită. Cu alte cuvinte $\pi _{s},\\pi _{u},\pi _{c)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ $\pi _{h}$ $W^{c}$ $X$ $X$

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}$ ,

unde este o soluție a ecuației (*) astfel încât . [opt] ${\tilde {x}}(t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

Pentru existența unei varietăți centrale globale , trebuie impuse condiții suplimentare funcției: mărginire și proprietate Lipschitz cu o constantă Lipschitz suficient de mică. În acest caz, există o varietate centrală globală, este ea însăși o subvarietă Lipschitz a lui și este definită în mod unic. [8] Dacă avem nevoie de netezime a ordinii și micimea derivatei, atunci varietatea centrală globală va avea netezime de ordine și va atinge subspațiul central invariant la punctul singular 0. Rezultă că dacă luăm în considerare restricția centrului global varietate la o mică vecinătate a punctului singular, atunci va fi un centru local varietatea este o modalitate de a-și demonstra existența. Chiar dacă sistemul (*) nu îndeplinește condițiile de existență a unei varietăți centrale globale, el poate fi modificat în afara unei vecinătăți de zero (prin înmulțire cu o funcție de tăiere netedă adecvată de tip „ cap ”), astfel încât acestea condițiile încep să fie satisfăcute și luați în considerare restricția pe care sistemele colectoare centrale globale modificate. Rezultă că se poate formula și afirmația inversă: se poate globaliza un sistem dat local și extinde varietatea centrului local la cel global. [9] Mai precis, această afirmație este formulată după cum urmează: [10] $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Teorema. Fie , , , și o varietate centrală locală (*). Există o vecinătate atât de mică de zero și o funcție mărginită pe întreg spațiul care coincide cu , prin aceea că ecuația (*) pentru funcție are o varietate centrală globală netedă care coincide în regiunea cu

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0)=0

Df(0)=0

W^{c}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

W^{c}

Trebuie remarcat faptul că trecerea de la problemele locale la cele globale și invers este adesea folosită în demonstrarea aserțiunilor legate de varietățile centrale.

Principiul reducerii

După cum sa menționat mai sus, dinamica non-trivială din apropierea punctului singular este „concentrată” pe varietatea centrală. Dacă punctul singular este hiperbolic (adică liniarizarea nu conține valori proprii cu parte reală zero), atunci nu are o varietate centrală. În acest caz, conform teoremei Grobman-Hartman , câmpul vectorial este echivalent orbital-topologic cu liniarizarea lui, adică din punct de vedere topologic, dinamica unui sistem neliniar este complet determinată de liniarizare. În cazul unui punct singular nehiperbolic, topologia fluxului de fază este determinată de partea liniară și de restricția fluxului la varietatea centrală. Această afirmație, numită principiul reducerii lui Shoshitaishvili , este formulată după cum urmează: [11]

Teorema (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Să presupunem că partea dreaptă a câmpului vectorial (*) aparține clasei . Apoi, într-o vecinătate a unui punct singular nehiperbolic, este echivalent din punct de vedere orbital din punct de vedere topologic cu produsul șeii standard și restricția câmpului la varietatea centrală: $C^{2}$

${\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{cases} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\z\in T^{u}$

Note

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 . , c. 13
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , capitolul 1, paragraful 2.3
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , capitolul 1, punctul 2.2
↑ Dinamica neliniară și haos, 2011 , p. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Oscilații neliniare, sisteme dinamice și bifurcații ale câmpurilor vectoriale, - Moscova-Izhevsk: IKI, 2002. - Capitolul 3, par. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , vezi, de asemenea, D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Mâncare. Forme normale și bifurcații ale câmpurilor vectoriale pe plan. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Bifurcații de tip topologic al unui câmp vectorial în apropierea unui punct singular. // Tr. seminarii pentru ei. I. G. Petrovsky. - 1975. - Numărul 1. . - S. 279-309 .

Literatură

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Dinamica neliniară și haos: concepte de bază. - M. : Librokom, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01583-7 .