Masa ciclotronului

Masa ciclotronului este masa efectivă a unui electron sau a unei găuri care caracterizează mișcarea purtătorilor de sarcină într-un câmp magnetic. În cazul general, această masă nu coincide cu masa efectivă a purtătorilor. În conductoarele cu suprafață Fermi anizotropă , caracteristicile inerțiale ale purtătorilor sunt descrise folosind tensorul de masă efectivă . Masa ciclotronului este măsurată prin studierea rezonanței ciclotronului , a efectelor oscilației magnetice ( efectul Shubnikov-de Haas , efectul de Haas-van Alphen ) și a altor efecte cinetice și caracteristici termodinamice [1] . Cunoașterea masei ciclotronului face posibilă reconstituirea formei suprafeței Fermi într-un solid.

Teoria pentru siliciu [2]

Suprafața Fermi a siliciului, care este un semiconductor cu gol indirect , constă din șase elipsoide de revoluție în spațiul k. Luați în considerare o secțiune a suprafeței Fermi după planul XZ astfel încât să existe 4 elipse prolate în acest plan cu centrele situate pe axele la o distanță de . Fie ca vectorul câmpului magnetic să se afle în acest plan și să formeze un unghi cu axa Z. Legea de dispersie anizotropă pentru electroni are forma $k_{0}$ $\mathbf {B}$ $\theta$

\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t ))}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),

unde se introduc două mase efective diferite , , care se numesc mase efective longitudinale și, respectiv, transversale. Ecuația mișcării unei particule ( a doua lege a lui Newton ) cu sarcina „-e” într-un câmp magnetic în absența amortizarii $m_{t)$ $m_{l}$ $\mathbf {B}$

\hbar {\frac {d\mathbf {k} {dt)}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,

unde este vectorul de undă , iar viteza particulei este dată de $\mathbf {k}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}} ,\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\ dreapta).

Acum să scriem componentă cu componentă legea mișcării

\hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta},

\hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e \hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l))}\sin {\theta },

\hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.

Ne interesează doar soluțiile de formă

k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{ 0}+k_{3}e^{i\omega t}.

Această soluție există la o anumită frecvență numită ciclotron , care depinde de unghi:

\omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2 }{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.

Aici putem defini masa ciclotronului ca

m_{c}=eB/\omega _{c}.

Se poate observa că dacă unghiul este egal cu zero, atunci , iar dacă unghiul este drept: . $m_{c}=m_{t)$ $m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}))$

Caz general

În cazul general [3] pentru o suprafață Fermi arbitrară , de exemplu, în metale, suprafața Fermi poate lua o formă complexă, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru frecvența ciclotronului [4]

\omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2)}}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})} }

și masa ciclotronului

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon )),\qquad (1)

unde este aria secțiunii suprafeței Fermi de către plan , este proiecția vectorului undei de electroni pe direcția câmpului magnetic, este energia electronului. $S(\varepsilon,k_{H})$ ${k_{H}}=const$ $k_{H}$ $\varepsilon$

Cazul unei zone parabolice

Pentru cea mai simplă zonă parabolică izotropă, energia și aria pot fi reprezentate ca următoarele funcții ale vectorului de undă [4] :

\varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\

{S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac { 2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)\,,

unde este mărimea componentei vectorului de undă perpendiculară pe câmpul magnetic și este energia Fermi . În acest caz, derivata ariei a energiei va avea cea mai simplă formă: $k_{\bot )$ $\varepsilon _{F}$

{\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2 }}}\,.

Înlocuind valoarea obținută pentru derivată în formula masei efective, găsim:

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{ *}\,.

Astfel, în cazul unei zone parabolice izotrope simple, există o identitate între „masa ciclotronului” și „masa efectivă”. Această împrejurare face posibilă în majoritatea cazurilor practice măsurarea masei efective a purtătorilor dintr-un solid.

Masa ciclotronului pentru grafen [5] [6]

Legea de dispersie bidimensională a grafenului în apropierea punctelor Dirac este dată de ecuație

\varepsilon =\pm \hbar v_{F}k\,,

unde este energia de excitație, este viteza Fermi și este valoarea absolută a vectorului de undă bidimensional. $\varepsilon$ $v_{F}$ $k$

Luați în considerare grafenul dopat cu o densitate de purtători pe unitate de suprafață, , la o temperatură suficient de scăzută, astfel încât electronii să formeze un gaz Fermi degenerat . Apoi puteți defini suprafața Fermi ca o linie 2D - un cerc . După ce spin și degenerarea văii sunt luate în considerare, vectorul de undă Fermi corespunzător este $n_s$ $\varepsilon =\varepsilon_{F}$ $ce faci}$

{{k}_{F}}={\sqrt {\pi n_{s}}}\,.

Pentru a determina masa ciclotronului în aproximarea semiclasică , folosim ecuația (1), în care ar trebui să înlocuim, , aria din k-spațiul delimitată de o orbită cu energie $S(\varepsilon )$ $\varepsilon$

S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi ({\varepsilon }^{2}}} {{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}\,,

unde găsim masa ciclotronului:

m_{c}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={\frac {\hbar }{v_{F}}}{ \sqrt {\pi n_{s))}\,.

Vezi și

Note

↑ Lifshits I. M., Azbel M. Ya., Kaganov M. I. Teoria electronică a metalelor. M.: Nauka, 1971. - 416 p.
↑ Hook JR pp. 158-159.
↑ Hook JR p. 375.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Fundamentele teoriei metalelor. - Moscova: FIZMATLIT, 2010. - P. 87. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ Eva Y Andrei, Guohong Li și Xu Du, Electronic properties of graphene: a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport. Reprezentant. Prog. Fiz. 75 (2012) 056501 (47pp) arXiv:1204.4532 [cond-mat.mes-hall]
↑ S. Das Sarma, Shaffique Adam, EH Hwang și Enrico Rossi. Transport electronic în grafen bidimensional // Reviews of Modern Physics. - 2011. - 16 mai ( vol. 83 ). - P. 407 . - doi : 10.1103/RevModPhys.83.407 . - arXiv : https://arxiv.org/pdf/1003.4731 .

Literatură

Hook JR, Hall HE Solid State Physics. - Ed. a II-a .. - Chichester: John Wiley & Sons, 1997. - P. 158-159. — 474 p. - ISBN 0-471-92805-4 .
Ridley B. Procese cuantice în semiconductori. - Moscova: Mir, 1986. - S. 63-64. — 304 p. — ISBN UDC 537.33+535.2.

Link -uri

Physical Encyclopedia, v.5 - M.: Great Russian Encyclopedia p.429