Efectul Shubnikov-de Haas

Efectul Shubnikov-de Haas ( efectul Shubnikov-de Haas ) este numit după fizicianul sovietic L. V. Shubnikov și fizicianul olandez V. de Haas , care l-au descoperit în 1930 . Efectul observat a constat în oscilații ale magnetoresistenței filmelor de bismut la temperaturi scăzute . Mai târziu, efectul Shubnikov-de Haas a fost observat în multe alte metale și semiconductori . Efectul Shubnikov-de Haas este utilizat pentru a determina tensorul efectiv de masă și forma suprafeței Fermi în metale și semiconductori.

Termenii efecte longitudinale și transversale Shubnikov-de Haas sunt introduși pentru a distinge între orientarea câmpului magnetic în raport cu direcția fluxului de curent electric . De interes deosebit este efectul transversal Shubnikov-de Haas într-un gaz electronic bidimensional ( DEG ).

Cauza

Motivul apariției oscilațiilor de conductivitate și rezistență constă în caracteristicile spectrului de energie 2DEG, și anume, aici vorbim despre niveluri Landau cu energii .

E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),

unde este constanta Planck, este frecvența ciclotronului a oscilatorului Landau, este masa efectivă a electronului, este numărul nivelului Landau, este viteza luminii. $\hbar$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$ $m^{*}$ $n=0,1,2...$ $c$

Densitatea stărilor de 2DEG într-un câmp magnetic de cuantizare pentru cazul bidimensional este un set de singularități asemănătoare delta $DOS(\varepsilon )$

DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{) 2}}\dreapta)\dreapta)}.

Lăsați nivelul Fermi să fie fixat, de exemplu, de nivelul Fermi în contacte. Apoi, pe măsură ce câmpul magnetic B crește, distanța dintre nivelurile Landau va începe să crească, iar acestea vor trece de nivelul Fermi, iar conductivitatea 2DEG va crește. Când nivelul Fermi se află între două niveluri Landau, unde nu există electroni care contribuie la conductivitate, se observă minimul acestuia. Acest proces se repetă pe măsură ce câmpul magnetic crește. Oscilațiile magnetorezistentei sunt periodice în câmpul magnetic invers și din perioada lor se determină concentrația gazului de electroni bidimensional (2DEG) $E_F$ $E_{F}=E_{n}^{{LL}}$ $\Delta \left({\frac {1}{B}}\dreapta)$

n_{{2DEG}}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B))),

unde este sarcina electronului și este constanta lui Planck. $e$ $h$

Oscilațiile magnetorezistenței apar și într-un alt cadru al experimentului, dacă câmpul magnetic este fix și concentrația 2DEG este modificată într-un fel, de exemplu, într-un tranzistor cu efect de câmp prin modificarea potențialului de poartă.

Caz bidimensional

Luați în considerare un gaz bidimensional degenerat (situat pe plan ) de electroni (liberi) care nu interacționează cu o masă efectivă . Un câmp magnetic puternic este direcționat perpendicular pe plan și inegalitatea ( este frecvența ciclotronului ) este satisfăcută, adică spectrul de energie este cuantificat. Presupunem că temperatura este suficient de scăzută, iar lărgirea nivelurilor Landau din cauza împrăștierii electronilor este mai mică decât distanța dintre niveluri , care este calea liberă medie. În acest caz, dependența componentelor tensorului de conductivitate electrică de câmpul magnetic are forma: $X y$ $m^{*}$ ${\bold symbol {B}}$ $\omega _{c}\tau \gg 1$ $\omega _{c}=eB/m^{*}c$ $T$ $\hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau$ $\tau$

\sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}} }\left[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2)))){\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\right]

\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau {1+{{\left(\omega _{ c}\tau \right)}^{2))))\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1 }{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2} }\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}

unde este conductivitatea electrică în absența unui câmp magnetic, determinată de formula Drude [1] . $\sigma _{0}$

Oscilațiile conductivității electrice cu o modificare a câmpului sunt descrise de raportul dintre partea oscilantă a densității stărilor și densitatea stărilor în absența unui câmp magnetic : $\Delta \nu$ $\nu _{0}\gg \Delta \nu$

{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0)}}=2\sum \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\ pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)} {\sinh \left(2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)))\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F))}{\hbar \omega _{c))}-\pi s\right)

unde este energia Fermi [2] . $\varepsilon _{F}$

Componentele tensorului de rezistență , invers tensorului de conductivitate, , au o formă simplă [2] : ${{\rho }_{ik}}$ $\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}$

{{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0 }}}\dreapta)

{{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\ stânga(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\right)

Formulele de mai sus sunt valabile în cazul în care diviziunea Zeeman a nivelurilor cuantice poate fi neglijată ( , este magnetonul Bohr , este componenta tensorală a factorului g a electronilor) [3] . $g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c)$ $\mu _{B}$ $g_{zz)$

Caz 3D

Forma oscilațiilor depinde slab de forma potențialului de împrăștiere, iar următoarea expresie, care ia în considerare lărgirea datorată coliziunilor și temperaturii, precum și diviziunea spinului, oferă o bună aproximare pentru descrierea efectului transversal Shubnikov-de Haas. pentru un gaz de electroni tridimensional [4]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot { \frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B }T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}} \cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}

unde , este temperatura Dingle, determinată din lărgirea colizională a nivelului ca , este constanta Boltzmann, este temperatura gazului de electroni, este multiplicatorul Lande pentru electron ( -factor), este masa electronului liber. $\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$ $T_D$ $\Gamma$ $\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$ $k_B$ $T_{e}$ $g$ $g$ $m_{{0}}$

O expresie similară pentru descrierea efectului Shubnikov-de Haas longitudinal pentru un gaz de electroni tridimensional (ținând cont de împrăștierea prin fononi acustici) poate fi scrisă ca [5]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{{0L}}\left(1-\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2 \pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2)}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^ {2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \ omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \peste 2m_{0}}

unde ( este potențialul de deformare , este viteza sunetului, este temperatura). $\sigma _{{0L}}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{{*} ))}{\frac {E_{F}}{3}}$ $\Xi$ $v_s$ $T$

Legea dispersiei arbitrare

Pentru o lege de dispersie arbitrară pentru electronii de conducție ( este cvasi -impulsul), amplitudinea și perioada oscilațiilor de conductivitate electrică depind de geometria suprafeței Fermi ( este energia Fermi ). $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ ${\mathbf {p}}$ $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}$ ${\varepsilon }_{F}$

Spre deosebire de efectul de Haas-van Alphen , în efectul Shubnikov - de Haas , în dependența oscilativă a componentelor tensorului de conductivitate electrică ( ) de câmpul magnetic, pe lângă oscilațiile densității stărilor (asemănător cu efectul de Haas-van Alphen), apar oscilații care sunt asociate cu influența cuantizării Landau asupra proceselor de împrăștiere [6] [7] . Luând în considerare ecuația cinetică de cuantificare a spectrului de energie și influența câmpului electric asupra energiei electronilor în integrala de coliziune a arătat că contribuția proceselor de împrăștiere la amplitudinea oscilațiilor Shubnikov-de Haas ale componentelor transversale , ( câmpul magnetic este direcționat de-a lungul axei ) în câmpuri încrucișate ( ) este decisiv. Adunarea relativă oscilantă la componentele diagonale ale tensorului de conductivitate în aproximarea semiclasică este de ordinul [7] : ${{\sigma }_{ik}}$ $i,k=x,y,z$ $\mathbf {E}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{aa}$ $\mathbf {H}$ $z$ $\mathbf {E} \bot \mathbf {H}$ $\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}$

{\displaystyle {\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}} {{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{ -1}}\left({{\varepsilon }_{F}}\right)\sum \limits _{m}{({\left({\frac {m_{c}{{S}_{m} }}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H))))

unde este densitatea stărilor la o energie egală cu energia Fermi; este masa ciclotronului a electronului; sunt zonele secțiunilor extreme ( ) ale suprafeței Fermi prin planuri , unde este proiecția cvasi-momentului electronic pe direcția câmpului magnetic; este partea oscilantă a momentului magnetic al electronilor. Însumarea peste indice se efectuează pe toate secțiunile extreme. Conform teoriei Lifshitz - Kosevich [8] [9] $\nu \left({{\varepsilon}_{F)}\right)$ ${{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_ {F}}}}$ ${S}_{m}(\varepsilon _{F})$ $\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0$ ${p_{H}}=const$ $p_{H}$ $M_{osc)$ $m$

{{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\ frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);

Unde

A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{ c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{ S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{ S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}} }\dreapta)

Formula este valabilă atunci când inegalitățile sunt îndeplinite:

T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F));\quad {\frac {e\hbar H }{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}});

unde este volumul metalului, , este temperatura , este masa unui electron liber , este frecvența ciclotronului , , este constanta Boltzmann . $V$ $\Psi \left(z\right)=z/\sinh z$ $T$ $m_{0}$ ${{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}$ $\gamma <1$ $k_{B}=1$

Perioada de oscilații în câmpul magnetic invers este:

\Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar }{c{{S}_{m)})}

Vezi și

Literatură

Ridley BK Quantum Processes in Semiconductors = Procese cuantice în semiconductori. - a 4-a. - Oxford: Clarendon Press, 1999. - 436 p. — ISBN 0-19-850580-9 .

Note

↑ Akira Isihara și Ludvig Smrčka. Dependențe de densitate și câmp magnetic ale conductivității sistemelor electronice bidimensionale // J. Phys. C: Solid State Phys.. - 1986. - Vol. 19 . - S. 6777-6789 . - doi : 10.1088/0022-3719/19/34/015 .
↑ 1 2 Isihara și Smrčka, 1986 .
↑ SA Tarasenko. Efectul divizării Zeeman asupra oscilațiilor Shubnikov-De Haas în sisteme bidimensionale // Fizica stării solide. - 2002. - Vol. 44 , nr. 9 . — P. 1769–1773 . - doi : 10.1134/1.1507263 .
↑ Ridley, 1999 , p. 309.
↑ Ridley, 1999 , p. 312-313.
↑ I.M. Lifshitz, M.Ya. Azbel, M.I. Kaganov. Teoria electronică a metalelor: [ rus. ] . - Moscova: Editura „Nauka”, 1971. - P. 416.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Fundamentele teoriei metalelor. - Moscova: FIZMATLIT, 2010. - P. 598. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ I. M. Lifshits și A. M. Kosevich ZhETF, 27 , 730 (1955).
↑ I. M. Lifshits, A. M. Kosevich DAN SSSR, 96 , 963-966, (1954).