Patru patru

Four Fours este un puzzle matematic pentru a găsi cea mai simplă expresie matematică pentru fiecare număr întreg de la 0 la un maxim, folosind doar simboluri matematice comune și patru (nu sunt permise alte numere). Majoritatea versiunilor de „patru 4” necesită ca fiecare expresie să conțină exact patru 4, dar unele variații necesită ca fiecare expresie să aibă un număr minim de 4.

Reguli

Există multe variante ale acestui puzzle. Principala lor diferență este ce operațiuni matematice sunt permise. Aproape toate variațiile permit cel puțin adunarea ("+"), scăderea ("-"), înmulțirea ("×"), împărțirea ("÷") și paranteze, precum și concatenarea (de exemplu, scrierea "44" este permisă ). Majoritatea permit, de asemenea, factoriale ("!"), exponentiația (de exemplu, "44 4 "), punctul zecimal ("") și rădăcina pătrată ("√"), deși uneori rădăcina pătrată este exclusă în mod specific pe baza faptului că este implicit „2” pentru rădăcina pătrată. Alte operații sunt permise în unele variante, inclusiv subfactorială ("!" înainte de un număr: !4 este egal cu 9), primarală ("#" după un număr, de exemplu, 4# este egal cu 6), "()" sau "bar peste" (secvență de cifre care se repetă la infinit), o rădăcină de orice grad, funcții gamma (Γ (), unde Γ (x) \u003d (x - 1)!) Și procent ("%)". Astfel, 4/4% = 100 și Γ (4) = 6. Linia are următoarea semnificație:

De regulă, utilizarea logaritmilor nu este permisă, deoarece există o modalitate trivială de a exprima orice număr atunci când îl utilizați. Paul Burke, citând pe Ben Rudyak-Gould, a descris utilizarea logaritmilor naturali (ln()) pentru a reprezenta orice număr natural n :

Sunt posibile opțiuni suplimentare (de obicei cu un alt nume): cu înlocuirea unui set de numere ("4, 4, 4, 4") cu un altul, să zicem, anul nașterii cuiva. De exemplu, folosirea „1975” ar necesita doar un 1, unul 9, unul 7 și unul 5 pentru a fi folosit în expresia pentru fiecare număr.

Hotărâri

Iată un set de soluții de patru patru pentru numerele de la 0 la 20 folosind reguli exemplu. Unele soluții alternative sunt, de asemenea, enumerate aici, deși există de fapt mult mai multe soluții corecte.

0 = 4 ÷ 4 × 4 − 4 = 44 −44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷44 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4)÷ 4 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! +4! 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!)÷ 4 6 = 4 +(4 + 4)÷ 4 = 4.4 + 4 ×.4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4,4 −.4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 −√4 10 = 4 + 4 + 4 −√4 = (44 − 4) ÷ 4 11 = 4 ÷ 4 + 4 ÷.4 = 44 ÷√4 ÷√4 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4 13 = (4 −.4)÷.4 + 4 = 44 ÷ 4 +√4 14 = 4 ×(4 −.4)−.4 = 4 + 4 + 4 +√4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) ×.4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!) ÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷√4) − 4 19 = 4!− 4 −(4 ÷ 4) = (4 + 4 −.4) ÷.4 20 = 4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷√4

Există și multe alte moduri de prezentare.

Atenție la notarea unor fracții zecimale. Deci, „0,4” este de obicei scris ca „.4”. Acest lucru se datorează faptului că „0” este un număr și numai numerele „4” pot fi folosite în acest puzzle.

Un anumit număr va avea de obicei mai multe soluții posibile și orice soluție care respectă regulile este acceptabilă. Unele variante preferă numărul „cel mai mic” de operații, sau preferă unele operații față de altele. Alții preferă pur și simplu soluții „interesante”, adică o modalitate surprinzătoare de a atinge scopul. Cel mai mare număr care poate fi scris cu doar patru 4, patru operații aritmetice și puteri este 4 4 ​​4 4 , care este aproximativ egal cu 10 10 154 .

Unele numere, cum ar fi 113 și 123, sunt deosebit de dificil de rezolvat în cadrul regulilor tipice. Pentru 113, Wheeler sugerează Γ (Γ (4)) - (4 + 4!) / 4. Pentru 123, Wheeler sugerează, expresia:

Utilizarea unui procent ("%") permite soluții pentru mai multe numere, cum ar fi 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%. Prin urmare, nu este permis în toate opțiunile.

Puzzle-ul este descris pentru prima dată tipărit în Mathematical Essays and Amusements ( W. W. Rose Ball , 1892). În această carte, „patru patru” sunt descrise ca „divertisment tradițional”.

Probleme algoritmice

Această problemă și generalizările ei (de exemplu, „cinci cinci” și „șase șase” după cum se arată mai jos) pot fi rezolvate printr-un algoritm simplu. Soluția este construirea unui tabel hash care mapează numerele cu șiruri. În aceste tabele, numerele-cheie pot fi reprezentate ca niște combinații valide de operatori și simboluri d , denotând, de exemplu, patru și valori, care sunt șiruri de caractere care conțin formule reale. Există un tabel pentru fiecare număr n apariții ale lui d. De exemplu, când d = 4, tabelele hash pentru două apariții ale lui d vor conține perechi ca aceasta: cheie-valoare 8 și șir 4 + 4 , iar pentru trei apariții, de exemplu, perechi ca acesta: cheie-valoare 2 șir ( 4 +4) / 4 (rânduri îngroșate). Problema se reduce apoi la calculul recursiv al acestor tabele hash cu incremente de n, începând de la n = 1 și continuând până, de exemplu, n = 4. Tabelele pentru n = 1 și n = 2 sunt banale deoarece conțin elemente primitive . De exemplu, pentru n = 1 obținem:

T[4] := "4"; T[4/10] := ".4"; T[4/9] := ".(4)";

iar pentru n = 2:

T[44] := "44";.

În prezent, există două moduri în care pot fi generate noi înregistrări ca combinații ale celor existente, folosind operatori binari sau prin aplicarea rădăcinii factoriale sau pătrate (care nu folosesc instanțe suplimentare de d). În primul caz, toate perechile de subexpresii care folosesc un total de n d cazuri sunt luate în considerare și iterate . De exemplu, când n=4 , am dori să testăm (a, b) cu a care conține o instanță de d și trei b , sau a care conține două instanțe de d și b cu 2 d . Atunci am putea introduce a+b, ab, ba, a*b, a/b, b/a) în tabelul hash, inclusiv parantezele, pentru n=4 . Aici seturile A și B conțin respectiv a și b , calculate recursiv, pe baza n=1 și n=2 . Memorarea este utilizată pentru a se asigura că fiecare valoare a tabelului hash este calculată o singură dată.

În al doilea caz (factoriali și rădăcini), procesarea trece printr-o funcție helper care este numită de fiecare dată când se scrie valoarea lui V. Această funcție calculează factoriali imbricați și rădăcinile V până la o adâncime maximă limitată de numere.

Ultimul pas al algoritmului este să iterați cheia din tabel pentru valoarea necesară a lui n și să obțineți și să sortați acele chei care sunt numere întregi. Acest algoritm a fost folosit pentru a calcula cele cinci cinci și șase șase exemple de mai jos. De fiecare dată s-a ales o formulă mai compactă (din punct de vedere al numărului de caractere din valorile corespunzătoare) când cheia a apărut de mai multe ori.

Extras din soluția problemei cu cinci cinci

139 = ((((5+(5/5)))!/5)-5) 140 = (.5*(5+(5*55))) 141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5)) 142 = ((5)!+((55/.5)/5)) 143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5) 144 = (((((55/5)-5))!/5) 145 = ((5*(5+(5*5)))-5) 146 = ((5)!+((5/5)+(5*5))) 147 = ((5)!+((.5*55)-.5)) 148 = ((5)!+(.5+(.5*55))) 149 = (5+(((5+(5/5)))!/5))

Extras din soluția problemei cu șase șase

În tabelul de mai jos, intrarea .6... reprezintă valoarea 6/9 sau 2/3 (a fracției periodice 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6)) 243 = (6+((6*(.6*66))-.6)) 244 = (.6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6))))) 249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/.6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6)) 252 = (66+(66+((6)!/6))) 253 = ((6/6)+(6*(6+(6*6)))) 254 = ((.6...*((6*66)-6))-6) 255 = ((((6*6)+66)/.6)/.6...) 256 = (6*(6*(6-(6/(.6-6))))) 257 = (6+(((6)!+((6)!+66))/6)) 258 = ((6)!-(66+(6*66))) 259 = (((((6*6)+((6)!/6))-.6)/.6) 260 = ((66+(((6)!/.6)/6))-6)

Vezi și

Link -uri