Numărul Fermat

Numerele Fermat sunt numere de forma , unde (secvența A000215 în OEIS ). $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $n\geqslant 0$

Pentru , numerele Fermat sunt simple și egale cu . Până acum, nu au fost descoperite alte numere prime Fermat și nu se știe dacă ele există pentru n > 4 sau dacă toate celelalte numere Fermat sunt compuse . $n\in \{0,1,2,3,4\}$ $\ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537$

Istorie

Studiul numerelor de acest fel a fost început de Fermat , care a înaintat ipoteza că toate sunt prime . Cu toate acestea, această ipoteză a fost respinsă de Euler în 1732 , când a găsit descompunerea unui număr în factori primi: $F_{5}$

F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417

La vremea lui Fermat, se considera adevărat că dacă , atunci este prim $2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)$ $n$ . Această afirmație s-a dovedit a fi falsă (contraexemplu: ), totuși, potrivit lui Tadeusz Banachevich , tocmai această afirmație l-ar putea determina pe Fermat să-și prezinte conjectura, întrucât afirmația este adevărată pentru toți [1] . $n=341$ $2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})$ $n$

Primele Fermat

Pentru 2022, sunt cunoscute doar 5 numere prime Fermat - la [2] $n\in \{0,1,2,3,4\}\colon$

F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;

F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;

F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;

F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;

F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.

Existența altor numere prime Fermat este o problemă deschisă . Se știe că sunt compozite $F_{n}$ $5\leq n\leq 32.$

Proprietăți

Un -gon $n$ regulat poate fi construit folosind o busolă și o dreaptă dacă și numai dacă ( ), unde sunt numere prime Fermat diferite ( teorema Gauss-Wanzel ). $n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k)$ $r=0,1,2,...$ $p_{1},\dots ,p_{k}$
Dintre numerele de forma , numai numerele Fermat pot fi prime (adică numărul n trebuie să fie o putere a lui 2). Într-adevăr, dacă n are un divizor impar și , atunci $2^{n}+1$ $d>1$ $n/d=m$

2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{{2m}}-\cdots +2^{{nm}}),

și deci nu este simplu.

2^{n}+1

Primalitatea unor numere Fermat poate fi stabilită eficient folosind testul lui Pepin . Cu toate acestea, numerele Fermat cresc puternic, iar acest test a fost aplicat cu succes doar pentru 8 numere, a căror compoziție nu a fost dovedită anterior. Potrivit lui Mayer, Papadopoulos și Crandall , va dura câteva decenii pentru a efectua testele Pepin pe numerele Fermat ulterioare [3] .
Notația zecimală pentru numerele Fermat mai mari de 5 se termină cu 17, 37, 57 sau 97.
Fiecare divizor al numărului la are forma ( Euler , Lucas , 1878). $F_{n}$ $n>2$ $k\cdot 2^{{n+2}}+1$
Numerele Fermat cresc foarte repede: al 9-lea număr este mai mare decât un googol și al 334-lea număr este mai mare decât un googolplex .

Descompunerea în numere prime

În total, în iunie 2022, au fost găsiți 360 de divizori primi ai numerelor Fermat. Pentru 316 numere Fermat s-a dovedit că sunt compuse, în timp ce pentru 2 dintre ele ( F 20 și F 24 ) nu se cunoaște niciun divizor până acum [4] . În fiecare an se găsesc mai mulți divizori noi ai numerelor lui Fermat.

Mai jos este descompunerea numerelor Fermat în factori simpli, cu $n\in \{5,6,7,8,9\}\colon$

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;

F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;

{\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\, ,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2 }+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721; \end{matrice}}

{\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\ cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1) 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^ {9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}

Numerele Fermat generalizate

Numărul Fermat generalizat este un număr de forma. Numerele Fermat sunt cazul lor special pentruși $a^{{2^{n}}}+b^{{2^{n}}}$ $a=2$ $b=1.$

Note

↑ V. Serpinsky . 250 Probleme în teoria numerelor . - Iluminismul, 1968.
↑ Secvența OEIS A019434 _
↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer și Jason S. Papadopoulos (2003), Al douăzeci și patrulea număr Fermat este compus
↑ Starea de factoring Fermat

Literatură

Golomb, SW (1 ianuarie 1963), Despre suma reciprocelor numerelor Fermat și iraționalităților aferente , Canadian Journal of Mathematics vol. 15: 475–478 , DOI 10.4153/CJM-1963-051-0
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), O altă notă despre cei mai mari factori primi ai numerelor Fermat , Southeast Asian Bulletin of Mathematics vol . 25 (1): 111–115 , DOI 10.1007/s10012-001-0111-4
Guy, Richard K. (2004), Probleme nerezolvate în teoria numerelor , voi. 1 (ed. a treia), Problem Books in Mathematics, New York: Springer Verlag , p. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0- 387-26677-0 >
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 Prelegeri despre numerele Fermat: de la teoria numerelor la geometrie , voi. 10, Cărți CMS în matematică, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 > — Această carte conține o listă extinsă de referințe.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers , Journal of Number Theory vol . 97(1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782 , < http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 >
Luca, Florian (2000), The anti-social Fermat number , American Mathematical Monthly vol. 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , < http://www.maa.org/publications/periodicals/american -mathematical-monthly/american-matematical-monthly-februarie-2000 >
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (ed. a treia), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers /book/978-0-387-94457-9 >
Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne and Fermat Numbers , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 5 (5): 842–846 , DOI 10.2307/2031878
Yabuta, M. (2001), A simple proof of Carmichael's theorema on primitive divisors , Fibonacci Quarterly T. 39: 439–443 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf >

Link -uri

Leonid Durman. Curse verticale. Numerele Fermat de la Euler până în zilele noastre: 1 , 2 , 3 // Computerra , 2001, nr.393-395.
TOP-20 Cei mai mari divizori ai numerelor Fermat
Leonid Durman , Luigi Morelli. Proiect de coordonare FERMATSEARCH (engleză) (italiană) (rusă)
Wilfrid Keller. Factorii primi ai numerelor Fermat

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4672709-7 NKC : ph195830