Număr imaginar pur

... (fragmentul selectat se repetă la infinit)
i −3 = i
i -2 = -1
i −1 = − i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = −1
i 3 = − i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = −1
i n = i m unde m ≡ n mod 4

Un număr pur imaginar este un număr complex cu parte reală zero . Uneori, numai astfel de numere sunt numite numere imaginare, dar termenul este folosit și pentru a se referi la numere complexe arbitrare cu o parte imaginară diferită de zero [1] . Termenul de „număr imaginar” a fost propus în secolul al XVII-lea de către matematicianul francez René Descartes [2] , inițial acest termen avea un sens peiorativ, întrucât astfel de numere erau considerate fictive sau inutile, și numai după lucrările lui Leonhard Euler și Carl Gauss . acest concept a câștigat recunoaștere în comunitatea științifică.

Definiții

Fie un număr complex, unde și sunt numere reale . Numerele sau și sau sunt numite, respectiv , părți reale și imaginare (asemănătoare cu engleza real, imaginary ) părți . $z=x+iy$ $X$ $y$ $x=\Re(z)$ $\operatorname {Re}~z$ $y=\Im (z)$ $\operatorname {Im}~z$ $z$

Dacă , atunci se numește un număr pur imaginar . $x=0$ $z$
Dacă , atunci este un număr real . $y=0$ $z$

Istorie

Matematicianul și inginerul grec antic Heron din Alexandria [3] [4] a fost primul care a menționat numerele imaginare în lucrările sale , dar regulile pentru efectuarea operațiilor aritmetice (în special, înmulțirea ) asupra acestora au fost introduse de Raphael Bombelli în 1572 . Conceptul lui Bombelli este anterior unei lucrări similare a lui Gerolamo Cardano . În secolele XVI-XVII, numerele imaginare erau considerate de majoritatea comunității științifice ca fiind fictive sau inutile (asemănător cu modul în care conceptul de zero a fost perceput la vremea sa ). În special, Rene Descartes, menționând numerele imaginare în lucrarea sa fundamentală „ Geometrie ”, a folosit termenul „imaginar” în sens peiorativ [5] [6] . Utilizarea numerelor imaginare nu a devenit larg răspândită decât în lucrarea lui Leonhard Euler (1707-1783) și Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Semnificația geometrică a numerelor complexe ca puncte pe un plan a fost descrisă pentru prima dată de Kaspar Wessel (1745-1818) [7] .

În 1843, matematicianul irlandez William Hamilton a extins ideea unei axe a numerelor imaginare în plan la un spațiu cuaternionic cu patru dimensiuni , în care trei dimensiuni sunt analoge cu numerele imaginare dintr-un câmp complex.

Odată cu dezvoltarea conceptului de inel de polinoame în teoria inelelor factoriale , conceptul de număr imaginar a devenit mai semnificativ și a fost dezvoltat în continuare în conceptul de j - numere bicomplex , al căror pătrat este egal cu +1 . Această idee a apărut într-o lucrare din 1848 a matematicianului englez James Cockle 8] .

Interpretare geometrică

În planul numerelor complexe , numerele imaginare se află pe o axă verticală perpendiculară pe axa numerelor reale . O modalitate de a interpreta geometric numerele imaginare este să luați în considerare linia numerică standard , unde numerele pozitive sunt în dreapta și numerele negative sunt în stânga. Prin punctul 0 de pe axa x , axa y poate fi trasată cu direcția „pozitivă” în sus; numerele imaginare „pozitive” cresc în mărime în sus, în timp ce numerele imaginare „negative” cresc în magnitudine în jos. Această axă verticală este adesea numită „axa imaginară” și este notă i ℝ , , sau ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

În această reprezentare, înmulțirea cu -1 corespunde unei rotații de 180 de grade față de origine. Înmulțirea cu i corespunde unei rotații de 90 de grade în direcția „pozitivă” (adică în sens invers acelor de ceasornic), iar ecuația i 2 = −1 este interpretată astfel încât dacă aplicăm două rotații de 90 de grade în jurul originii, rezultatul este o rotire 180. grade. Cu toate acestea, o viraj de 90 de grade în direcția „negativă” (adică în sensul acelor de ceasornic) satisface și această interpretare. Aceasta reflectă faptul că − i este, de asemenea, o soluție a ecuației x 2 = −1 . În general, înmulțirea cu un număr complex este analogă cu rotirea în jurul originii argumentului al numărului complex și apoi scalarea după mărimea acestuia.

Rădăcini pătrate ale numerelor negative

Trebuie avut grijă atunci când lucrați cu numere imaginare, care sunt principalele valori ale rădăcinilor pătrate ale numerelor negative . De exemplu, un astfel de sofism matematic : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)))\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)( 3i)=6i^{2}=-6.

Uneori se scrie asa:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (sofism) }}{=}}{\sqrt {(- 1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Un sofism matematic similar apare atunci când variabilele în egalitate nu au restricțiile corespunzătoare. În acest caz, egalitatea eșuează deoarece ambele numere sunt negative. Acest lucru poate fi arătat ca ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}} {\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

unde ambele x și y sunt numere reale nenegative.

Vezi și

Note

↑ Număr complex // " Enciclopedia matematică " / Editor-șef I. M. Vinogradov. - M . : „Enciclopedia Sovietică”, 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 p. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Analiza matematică : aproximare și procese discrete . — ilustrat. - Springer Science & Business Media , 2004. - P. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Extras de la pagina 121
↑ Hargittai, István. Simetrie de cinci ori (neopr.) . — al 2-lea. - World Scientific , 1992. - P. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Numere complexe : simularea rețelei și aplicațiile funcției zeta . - Horwood, 2007. - P. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Olanda): Jan Maire, 1637), carte citată: Geometry , cartea 3, p. 380. De la pagina 380: „Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui correspond a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a cependant qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." („În plus, atât rădăcinile adevărate, cât și [rădăcinile] false nu sunt întotdeauna reale; dar uneori există doar [numere] imaginare; adică în fiecare ecuație se pot reprezenta întotdeauna atâtea câte am spus; dar uneori nu există o astfel de mărime , care corespunde cu ceea ce se poate imagina, la fel ca în această [ecuație], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, unde o singură rădăcină este reală și egală cu 2, iar în raport cu celelalte două, deși una crește, sau le reduce sau le multiplica în modul pe care tocmai l-am explicat, nimeni nu le poate face diferite de [valorile] imaginare").
^ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramovici. Capitolul 10 // O istorie a geometriei non-euclidiene: evoluția conceptului de spațiu geometric (engleză) . - Springer, 1988. - P. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) „On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra”, London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , seria 3, 33:435-9 și Cockle (1849) „On a New Imaginary in Algebra” ”, Revista Filosofică 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [rădăcina pătrată a minus unu ] . - Princeton University Press , 2010. - P. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Extras de la pagina 12

Literatură

Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferențial și integral. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 p.
Nahin, Paul. O poveste imaginară: povestea rădăcinii pătrate a lui -1 (engleză) . - Princeton: Princeton University Press , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Link -uri

Cum se poate demonstra că numerele imaginare există cu adevărat? (Engleză)
În vremea noastră : numere imaginare
Programul 5 numere 4
De ce să folosiți numere imaginare? (Engleză)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4588957-0