Sofismul matematic

Sofismul matematic (din grecescul σόφισμα - un truc, o invenție vicleană, un puzzle [1] ) este o afirmație matematică eronată obținută folosind un raționament care pare corect, dar în realitate conține una sau alta eroare [2] . Motivele erorii pot fi variate - utilizarea acțiunilor interzise în matematică (de exemplu, împărțirea la zero ), utilizarea incorectă a legilor matematice sau utilizarea în afara zonei de aplicabilitate a acestora, erori logice etc.

Sofismul matematic este un caz special de sofism . Mai departe, în acest articol vorbim doar despre sofisme matematice , care pentru scurtitate vor fi numite pur și simplu sofisme. Sofismele nu trebuie confundate cu paradoxurile științifice (de exemplu, aporii lui Zenon , paradoxul zilei de naștere sau paradoxul Banach-Tarski ), care nu conțin erori și au adesea o valoare științifică considerabilă [2] .

Analiza sofismelor, căutarea erorilor în ele sunt extrem de valoroase în cursul predării matematicii [3] , ajută elevii și studenții să-și formeze o înțelegere clară a legilor matematice și logice și, de asemenea, avertizează împotriva posibilelor erori tipice în aplicare. din aceste legi [2] [4] .

Istorie

Proclus Diadochus (secolul al V-lea d.Hr.) în comentariile sale despre „Principiile” lui Euclid a spus că chiar și Euclid în secolul al III-lea î.Hr. e. a compilat o colecție de sofisme matematice pentru a ajuta studenții de geometrie; colecția a fost numită „ Pseudariya ” și nu a supraviețuit până în prezent. Scopul sofismelor, conform lui Proclu, este de a-i învăța pe elevi să detecteze erorile de raționament și să le evite în viitor [4] .

În viitor, până în prezent, literatura educațională, precum și colecțiile de matematică distractivă , includ adesea sofisme cu sarcina „găsește greșeala”, pe baza cărora sunt explicate regulile matematice și sunt verificate cunoștințele cititorilor.

Clasificarea sofismelor

Există mai multe opțiuni de grupare a sofismelor - unii autori le grupează după tipul de subiecte matematice, alții după tipul de eroare în raționament, iar alții combină ambele abordări într-o formă sau alta.

Profesorul rus V. I. Obreimov a propus împărțirea sofismelor în funcție de tipul rezultatului eronat [5] :

Egalitatea celui inegal.
Inegalitatea egalilor.
Mai puțin depășește mai mult.
Incoerențe geometrice.
Imaginarul este real (greșeli de raționament despre numere complexe ).
Ecuații nerezolvabile.

Această clasificare a fost criticată pentru faptul că materialul reunește diferite secțiuni de matematică pentru aceeași greșeală, ceea ce este incorect din punct de vedere metodologic și, în plus, caracteristicile de clasificare nu sunt suficient de semnificative [6] .

Matematicianul german Hermann Schubert a considerat patru tipuri de sofisme ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :

Împărțirea la zero .
Ambiguitatea rădăcinii pătrate .
Erori în construcțiile geometrice.
Lucru incorect cu infinitul.

Cartea lui V. M. Bradis și alții notează incompletitudinea evidentă a acestei liste și oferă propria sa [7] :

Discurs incorect.
Extindere la cazuri excepționale (de exemplu, împărțirea la zero).
Atribuirea proprietăților unei anumite specii întregului gen. De exemplu, ambele părți ale unei inegalități pot fi reduse printr-un factor pozitiv comun, dar dacă factorul este negativ, este important să vă amintiți să inversați semnul inegalității.
Aplicarea greșită a principiului inferenței imediate prin conversie. De exemplu, egalitatea numerelor implică egalitatea pătratelor lor, dar invers nu este adevărat.
Înlocuirea definițiilor exacte prin intuiție geometrică.
erori de construire,
Erori rezultate din interpretarea literală a formulării prescurtate (condiționale) a unor enunțuri geometrice.
Încălcarea semnificației înregistrărilor condiționate.
Sustragerea tezei , adică dovedirea unei alte afirmații decât cea declarată inițial.

Însuși materialul sofismelor din cartea lui Bradis și alții este prezentat strict pe subiecte: aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie , calcule aproximative . Acest articol aderă, de asemenea, la defalcarea tematică a materialului ca fiind cel mai convenabil pentru profesori și studenți.

Matematică elementară

Algebra

Împărțire cu zero

Sofismul . Fie numere arbitrare. Notăm diferența lor cu o literă , adică înmulțim această egalitate cu Deschidem parantezele: Apoi, grupăm monomiile după cum urmează: sau: $a,b$ $c,$ $ab=c.$ $ab\colon \quad(ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Reducând cu obținem: adică toate numerele sunt egale. $abc,$ $a=b,$

Motivul erorii : deoarece nu avem dreptul de a reduce cu pentru că această expresie este egală cu zero și este imposibil să reducem (adică să împărțim) la zero [8] . $ab=c,$ $abc,$

Împărțirea la zero este una dintre cele mai frecvente erori algebrice, iar această împărțire poate fi mascată, de exemplu, prin reducerea factorului comun. De exemplu, reducând ecuația la pierdem rădăcina . Un alt sofism este ecuația: $9x^{2}=x$ $X,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

Reducerea cu nu numai că pierdem singura rădăcină a ecuației, dar pe parcurs dobândim o rădăcină suplimentară care nu este inclusă în intervalul de valori acceptabile ale necunoscutului, deoarece expresia radicală pentru devine negativă [9] . ${\sqrt {x-5)),$ $x=5,$ $x=4,$ $x=4$

Inegalități

Sofismul 1 . Fie numere pozitive arbitrare și Înmulțind această inegalitate cu și scăzând din ambele părți , obținem: Factorizare: $a,b$ $a>b.$ $b$ $a^{2},$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

a(ba)>(b+a)(ba)

Reducând cu (cu condiția să nu fie egal cu zero), obținem inegalitatea: Scădeți rezultatul din ambele părți : Adică orice număr pozitiv este și negativ în același timp. $ba$ $a>b+a.$ $A,$ $0>b.$ $b$

Cauza erorii : ambele părți ale inegalității pot fi reduse cu un factor comun diferit de zero, dar dacă acest factor este negativ, atunci semnul inegalității trebuie inversat. Exact așa, deoarece după reducere obținem: eroarea a fost eliminată [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

Extragerea rădăcinii

Sofismul 1 . Egalitatea corectă: poate fi scrisă ca: Extragând rădăcina pătrată , obținem: de unde: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ $1=2.$

Cauza erorii : din egalitatea pătratelor mărimilor rezultă egalitatea mărimilor în sine numai dacă au aceleași semne. Extragerea corectă a rădăcinii dă un rezultat cu valoare absolută : și atunci eroarea nu apare [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Sofismul 2 . În liceu, creșterea unui număr este definită nu numai la un întreg, ci și la o putere fracțională : Luați în considerare un sofism care demonstrează că . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ $-1=1$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({( -1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\culoare {albastru}{\sqrt {\culoare {negru }1}}}=1

Cauza erorii : ridicarea la o putere fracțională este definită numai pentru numere nenegative [12] .

Sofismul 3 . Trebuie avut grijă atunci când creșteți valorile funcțiilor trigonometrice la o putere fracțională . Pare evident că, totuși, atunci când obținem o egalitate eronată: S-a explicat deja mai sus că rădăcina aritmetică a pătratului unui număr este egală cu valoarea absolută a numărului, deci notația corectă este următoarea [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ $1^{3/2}=-1.$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

Condiții incorecte ale problemei

Sofismul 1 . Rezolvam ecuatia: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Verificați: înlocuirea primei rădăcini din ecuație dă egalitate ; înlocuirea celei de-a doua dă: $12=0,$ $6=0.$

Cauza erorii : Ecuația originală nu are soluții. Acest lucru poate fi văzut din faptul că partea stângă este strict mai mare decât zero , deoarece este sub rădăcină). La pătrare au apărut două rădăcini străine, dar cecul le-a respins [14] . $(x\geqslant 0,$

Sofismul 2 . Să rezolvăm ecuația: unde este un număr real arbitrar . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $A$

Înmulțind ambele părți ale ecuației și apoi adăugând la ele, transformăm ecuația în forma: După extragerea rădăcinii cubice, obținem ecuația de unde: adică toate numerele sunt egale cu zero. $(-3a)$ $x^{3}-a^{3},$ $(xa)^{3}=x^{3}.$ $xa=x,$ $a=0,$

Motivul erorii : am tratat necunoscutul ca un număr real, totuși, după cum puteți vedea cu ușurință, ecuația inițială nu are rădăcini reale (cu excepția cazului ), deoarece este discriminantă Dacă luăm în considerare ecuația din sistemul complex numere , atunci toate raționamentele înainte de extragerea rădăcinilor cubice sunt corecte, dar rădăcina cubică complexă are trei valori, deci egalitatea cuburilor nu implică egalitatea cantităților în sine [15] . $X$ $a=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometrie

Sofismul 1 . Să tăiem triunghiul în patru părți, așa cum se arată în partea de sus a figurii, și apoi să formăm un nou triunghi de aceeași dimensiune din aceste părți, așa cum se arată în partea inferioară a figurii. Din rearanjarea pieselor, suprafața totală se modifică cu o celulă!

Motivul erorii : linia, care pare a fi ipotenuza triunghiului, este de fapt o linie întreruptă, adică figura în cauză nu este un triunghi, ci un patrulater . Acest lucru este ușor de dedus din faptul că în triunghiul roșu raportul picioarelor este de 3:8, iar în cel albastru este de 2:5, care este puțin mai mare. Aceasta înseamnă că linia întreruptă a figurii de sus este ușor concavă, cea a figurii de jos este ușor convexă, iar diferența de zonă dă doar o celulă „în plus” [16] .

Acest sofism are multe opțiuni, dintre care una este prezentată în figură: prin deplasarea părților unui dreptunghi cu o zonă, obținem un dreptunghi cu o zonă . Motivul este similar: o gaură cu o zonă de os. celula este întinsă de-a lungul diagonalei celui de-al doilea dreptunghi. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Sofismul 2 . Ne vom baza pe semnul : două triunghiuri sunt egale dacă au două laturi egale și unul dintre unghiuri. Triunghiurile ABC și ABC' au un unghi egal și două laturi (o latură comună, ) și, prin urmare, triunghiurile sunt egale, ceea ce contrazice construcția din figură (unghiurile și nu sunt egale cu 90°, deci punctele C și C' nu sunt egale). coincide). $\beta$ $c$ $b=b'$ $\gamma$ $\gamma '$

Cauza erorii : formularea neglijentă și deci eronată a criteriului de egalitate a triunghiurilor, corect: „ două triunghiuri sunt egale dacă au două laturi egale și unghiul dintre ele ”. De fapt, acest sofism poate fi considerat ca o infirmare convingătoare a unui semn eronat [17] .

Sofismul 3 : „toate triunghiurile sunt isoscele” (deseori atribuit lui Lewis Carroll [18] ) [19] . Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC (vezi figura). Bisectoarea unghiului A și perpendiculara la mijlocul laturii BC se intersectează într-un punct O. Să aruncăm perpendicularele OR (pe latura AB) și OQ (pe latura AC) din punctul O și, de asemenea, conectăm O la vârfurile B și C. ..

Triunghiurile dreptunghiulare RAO și QAO sunt congruente deoarece au aceeași latură (AO) și unghi (∠RAO = ∠QAO). Triunghiurile dreptunghiulare ROB și QOC sunt de asemenea egale deoarece au două laturi egale: BO = OC și RO = OQ. Dar atunci AR = AQ, RB = QC, iar latura AB = AR + RB = AQ + QC = AC este un triunghi isoscel.

Cauza erorii : desen distorsionat intenționat. Dacă se face cu atenție, punctul O nu va fi în interior, ci în afara triunghiului (pe cercul circumscris triunghiului ). În acest caz, unul dintre punctele R și Q se află pe latura triunghiului, iar celălalt este pe continuarea celeilalte laturi: dacă latura , atunci R este în interior, Q este în exterior, în caz contrar. În primul caz - minus în loc de plus; al doilea caz este analizat în mod similar [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

Trigonometrie

Sofismul . Luați în considerare binecunoscuta identitate trigonometrică : În orice triunghi, suma unghiurilor este deci egală, pe de o parte, prin identitate, iar pe de altă parte, în consecință, unghiurile sunt și ele egale: Scăzând această egalitate din identitate: obținem: sau Concluzie: orice triunghi este dreptunghic . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $\sin(\pi -(\alpha +\beta ))$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin \gamma .$ $\alpha +\beta =\gamma .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $2\gamma =\pi ,$ $\gamma =\pi /2.$

Motivul erorii : egalitatea are loc într-adevăr pentru orice triunghi, dar egalitatea unghiurilor nu rezultă din acesta - acest lucru este arătat și de formula La oricare două unghiuri care se completează reciproc cu sinusul sunt aceleași [21] . $\sin(\alpha +\beta)=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\pi ,$

Dovada prin inducție

Sofismul . Să demonstrăm că toți caii sunt de același costum. Dovada este prin inductie asupra numarului de cai. Când afirmația este banală. Lăsați toate turmele de cai de aceeași culoare; dovedi pentru o turmă de cai. Să scoatem un cal; toate rămase au același costum prin ipoteza inducției. Vom întoarce calul la turmă și vom lua un alt cal. Apoi, calul separat anterior se dovedește a fi de același costum. $N$ $N=1$ $N$ $N+1$

Cauza erorii : partea a doua a dovezii nu funcționează la trecerea de la la (smecheria cu despărțirea calului atunci nu dovedește nimic) [22] . $N=1$ $N=2$

Acest sofism plin de duh are o variație interesantă: o dovadă a afirmației că toate numerele întregi sunt egale. Să demonstrăm prin inducție pe lungimea unui segment de numere naturale . Când există un singur număr în segment, iar afirmația este adevărată. Fie afirmația adevărată pentru primele numere, să demonstrăm pentru Să luăm două numere arbitrare Prin ipoteza inductivă dar apoi ■ Eroarea de aici este similară cu cea anterioară: pentru un segment de lungime 2, valoarea depășește ipoteza inductivă, distrugând logica dovezii [23] . $N$ $1,2,3,\dots ,N$ $N=1$ $N$ $N+1.$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ $a-1=b-1,$ $a=b$ $a=1,b=2$ $a-1$

Matematică superioară

Numere complexe

Sofismul 1 . Unitatea imaginară este definită astfel Dar Se pare că ${\sqrt {-1}),$ $i^{2}=-1.$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ $1=-1.$

Cauza erorii : în sistemul de numere complexe, trebuie să fii atent la rădăcini. Rădăcina aritmetică , notată cu semnul radical , este definită numai pentru numere reale pozitive, iar rădăcinile pătrate complexe ale numerelor negative au două valori. Prin urmare, egalitatea ar trebui înlocuită cu și atunci nu apare nicio eroare [24] . ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=\pm 1,$

Sofismul 2 . Să ridicăm identitatea cunoscută la putere . În stânga, va ieși în dreapta, evident, 1. Ca urmare: ceea ce, deoarece este ușor de verificat, este greșit. $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$

Cauza erorii : ridicarea la o putere complexă dă un rezultat cu mai multe valori, deci regula nu se aplică aici, trebuie să utilizați definiția generală (vezi Putere complexă ); Aplicarea atentă a formulelor de determinare a gradului complex dă în stânga și în dreapta, de aici se poate observa că rădăcina erorii este confuzia valorilor acestei expresii pentru și pentru $\left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc)$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Limitele funcțiilor

Sofismul 1 . Să găsim limita expresiei când Dacă aspirăm mai întâi atunci limita este (indiferent de valoarea ), iar dacă începem de atunci limita este Se dovedește că orice număr este egal cu inversul său. ${\frac {ax+y}{x+ay}),$ $x,y\la \infty .$ $x\to \infty ,$ $A$ $y$ $y,$ $1/a.$

Cauza erorii : de fapt, eroarea este doar în rezultatul final. Permutarea ordinului limitelor parțiale , în general, poate modifica rezultatul [25] .

Acțiuni cu rânduri infinite

Sofismul 1 . Considerăm o serie infinită pentru logaritmul natural , obținut din seria Mercator cu $\ln 2$ $x=1\colon$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\dots

Să grupăm termenii cu aceleași semne:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2} }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\puncte \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\puncte \ dreapta)-2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)

Combinând primele două paranteze și adăugând un factor de 2 în a treia paranteză, obținem diferența a două valori identice, adică zero, deși nu este egală cu zero: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0

Cauza erorii : nu este permisă orice rearanjare a membrilor seriei, este valabilă numai pentru seriile absolut convergente . În special, reprezentarea unei serii inițiale convergente ca diferență a două serii divergente este incorectă. Seria se numește „ armonică ”, și diverge, deși diferă de cea originală doar prin semnele termenilor [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ puncte$

Integrare

Integrală nedefinită

Sofismul . Noi integrăm două identități:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sin x\cos x.

Rezultate:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Scăzând a doua ecuație din prima ecuație, obținem:

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,

în timp ce dreapta ar trebui să fie 1.

Motivul erorii : au uitat să includă constante de integrare în valorile integralelor nedefinite [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}

Integrală definită

Sofismul 1 . Să găsim integrala unei funcții pozitive folosind formula Newton-Leibniz :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

Integrala unei funcții pozitive s-a dovedit a fi negativă („Paradoxul lui D’Alembert”, 1768) [28] .

Cauza erorii : integrandul este discontinuu (și nu limitat) la zero, deci formula Newton-Leibniz nu este aplicabilă acestuia.

Sofismul 2 . Să găsim integrala unei funcții pozitive prin metoda schimbării variabilei :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Să introducem o nouă variabilă ; segmentul de integrare pentru va intra în segmentul pentru : $y=x^{2};dy=xdx$ $[-1;1]$ $X$ $[1;1]$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Răspuns corect:

I={\frac {2}{3)).

Cauza erorii : la înlocuirea unei variabile, variabilele vechi și noi trebuie să fie în corespondență unu-la-unu , în caz contrar funcția inversă nu este definită [29] ; în sofism această regulă este încălcată. $x=x(y)$

Alte sofisme

Câteva exemple suplimentare de sofisme și concluzii paradoxale care au provocat o discuție vie în comunitatea științifică:

Problema cu două plicuri în teoria probabilității .
Paradoxul lui Curry în logica matematică .
Paradoxul lui Skolem în teoria multimilor .
Paradoxul Petersburgului

Note

↑ Sofism // Dicţionar enciclopedic sovietic. - Ed. a II-a - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - S. 1241. - 1600 p.
↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 3-4.
↑ Sergeeva L. V. Utilizarea sofismelor matematice în lecțiile de matematică . Preluat: 7 martie 2020. (Rusă)
↑ 1 2 Bradis și colab., 1959 , p. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis și colab., 1959 , p. 11-14.
↑ Bradis și colab., 1959 .
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 9.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 65-66.
↑ Bradis și colab., 1959 , p. 89-90.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 6.
↑ Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11, partea 1. - ed. al 4-lea. - M .: Mnemozina, 2003. - S. 253-255. — 376 p.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 16.
↑ Bradis și colab., 1959 , p. 58.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 7-8, 66-67.
↑ Curry Triangle Paradox . Preluat la 31 august 2019. Arhivat din original la 31 august 2019. (nedefinit)
↑ Pentru o analiză a problemei construirii unui triunghi pe două laturi și a unui unghi nu între ele, vezi articolul Rezolvarea triunghiurilor sau în cartea de referință: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M . : Nauka, 1978. - S. 294.
↑ De fapt, sofismul a fost publicat pentru prima dată în cartea: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), din care Carroll l-a luat.
↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll în Numberland , Penguin Books, p. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 21-23, 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 45-46, 66-67.
↑ Poya, D. Mathematics and Plausible Reasoning. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : Nauka, 1975. - S. 140.
↑ Fedin S. N. Glumesc și matematicienii . - Ed. a 4-a. — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 p. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
↑ Bradis și colab., 1959 , p. 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 17, 76.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 15, 73-75.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 39, 94.
↑ Markov S. N. Curs de istorie a matematicii: manual . - Irkutsk: Editura Universității din Irkutsk, 1995. - P. 167 . — 248 p. — ISBN 5-7430-0496-X .
↑ Schneider V. E. et al. Un scurt curs de matematică superioară. Proc. indemnizatie pentru institutiile de invatamant superior . - M . : Şcoala superioară, 1972. - 640 p.

Literatură

Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Greșeli în raționamentul matematic. - Ed. a II-a. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 p.
- Ediția a III-a: M.: Iluminismul, 1967. - 191 p.
Gardner, Martin . Erorile geometrice (Capitolul 6) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 p. — ISBN 5-03-001234-6 .
Gardner, Martin . Sofisme matematice (capitolul 13) // Puzzle-uri matematice și divertisment. — M .: Mir, 1971. — 511 p.
Dvoryaninov SV Predarea matematicii și sofismului // Educația matematică. - 2007. - Nr. 1 (41).
Madera A. G. , Madera D. A. Sofisme matematice. Raționament plauzibil care duce la afirmații eronate / O carte pentru elevii din clasele 7-11. - M . : Educaţie, 2003. - 112 p. — ISBN 5-09-010795-5 .
Nagibin F. F., Kanin E. S. Sofisme matematice // Sicriu matematic. Ajutor pentru studenți. — Ediția a IV-a. - M . : Educație, 1984.
Obreimov V. I. Sofisme matematice. - Ed. a II-a. - Sankt Petersburg. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 p.
Perelman Ya. I. De două ori două - cinci! (Sofisme matematice) . - L . : DZN, 1839. - 16 p.
Furre, Emil. Puzzle-uri geometrice și paralogisme . - Odesa: Mathesis, 1912. - 52 p.
Bunch, Bryan. Erorile și paradoxurile matematice . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647 .

Link -uri

Erorile clasice . Preluat: 28 martie 2020.