Efectul Dzhanibekov

Teorema axei intermediare , sau teorema rachetei de tenis , în mecanica clasică este o afirmație despre instabilitatea rotației unui corp rigid față de a doua axă principală de inerție. Este o consecință a legilor mecanicii clasice , care descriu mișcarea unui corp rigid cu trei momente principale de inerție diferite . Manifestarea teoremei în timpul rotației unui astfel de corp în imponderabilitate este adesea numită efectul Dzhanibekov în onoarea cosmonautului sovietic Vladimir Dzhanibekov , care a observat acest fenomen la 25 iunie 1985 în timpul misiunii de salvare a stației spațiale Salyut-7 [ 1] . Un articol care explică această observație a fost publicat în 1991.[2] . În același timp, însăși teorema despre instabilitatea rotației în jurul unei axe intermediare de inerție este cunoscută de mult timp și este dovedită în orice curs de mecanică clasică [3] . Instabilitatea unei astfel de rotații este adesea arătată în experimentele de curs. Instabilitatea rotației în jurul axei intermediare (de mijloc) de inerție și stabilitatea rotației în jurul celorlalte două axe au fost descoperite pentru prima dată de mecanicul francez Louis Poinsot în 1834 și publicate în tratatul său New Theory of Rotation of Bodies [ 4] [5 ]. ] .

Teorema descrie următorul efect: rotația unui obiect în jurul axelor principale cu cele mai mari și mai mici momente de inerție este stabilă, în timp ce rotația în jurul axei principale cu un moment de inerție intermediar (de unde și denumirea de teoremă a axei intermediare ) nu este . Dzhanibekov a văzut asta cu o piuliță : răsucindu-l cu gravitate zero dintr-un ac de păr lung , a observat că zboară puțin, se întoarce la 180 °, apoi, după ce a mai zburat puțin, se întoarce din nou.

Pe Pământ, acest efect poate fi observat în următorul experiment: luați o rachetă de tenis de mâner și încercați să o aruncați în aer, astfel încât să finalizeze o revoluție completă în jurul unei axe care trece în planul rachetei perpendicular pe mâner, și prinde-l de mâner. În aproape toate cazurile, racheta va face o jumătate de rotație de-a lungul axei longitudinale și se va „privi” la tine cu cealaltă parte. Dacă aruncați racheta și o răsuciți de-a lungul altor axe, atunci racheta își va păstra orientarea după o întoarcere completă.

Experimentul se poate face cu orice obiect care are trei momente diferite de inerție, cum ar fi o carte sau o telecomandă. Efectul apare atunci când axa de rotație este ușor diferită de a doua axă majoră a subiectului; rezistența aerului sau gravitația pot fi neglijate [6] .

Este încă incorect să numim stabile rotațiile în jurul axelor cu un moment de inerție maxim și minim, având în vedere corpurile fizice reale. Dacă există forțe capabile să disipeze energia de rotație, cum ar fi forțele de maree, corpul se va roti în cele din urmă numai în jurul axei cu momentul maxim de inerție. Așa se rotesc toți asteroizii și planetele, inclusiv Pământul. Prin urmare, speculațiile despre o posibilă rotație a axei de rotație a Pământului sunt nefondate.

Justificare matematică

Teorema axei intermediare poate fi analizată folosind ecuațiile lui Euler .

Când sunt rotite liber, ele iau următoarea formă:

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&= ( I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2 )} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}.~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)))\end{aligned))

Aici notăm principalele momente de inerție și presupunem că vitezele unghiulare de rotație în jurul celor trei axe principale - derivatele lor în raport cu timpul - ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3))$ $I_{1}>I_{2}>I_{3}.$ $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},$ ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2}, {\dot {\omega }}_{3}.$

Luați în considerare situația în care un obiect se rotește în jurul unei axe cu un moment de inerție Pentru a determina natura echilibrului, presupunem că există două viteze unghiulare inițiale mici de-a lungul celorlalte două axe. Ca urmare, conform ecuației (1), este foarte mic. Prin urmare, dependența de timp poate fi neglijată. $I_{1}.$ ${\dot {\omega }}_{1}$ $\omega_{1}$

Acum diferențiam ecuația (2) în funcție de timp și înlocuim de ecuația (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{1}^{2}\omega _{2}.\\\end{aligned}}

Rețineți că semnele lui y și sunt diferite, deoarece multiplicatorul este negativ, în timp ce multiplicatorii și sunt pozitivi. În consecință, viteza inițială mică va rămâne mică în viitor. Prin diferențierea ecuației (3), se poate dovedi și stabilitatea în raport cu perturbațiile .Deoarece ambele viteze și rămân mici, din (1) rezultă că și rămâne mică . Prin urmare, rotația în jurul axei 1 are loc cu o viteză constantă. $\omega _{2}$ ${\ddot {\omega }}_{2}$ $(I_{3}-I_{1})$ $(I_{1}-I_{2})$ $\omega _{1}^{2)$ $\omega _{2}$ $\omega _{3}.$ $\omega _{2}$ $\Omega 3}$ ${\dot {\omega }}_{1}$

Raționament similar arată că rotația în jurul unei axe cu moment de inerție este, de asemenea, stabilă. $I_3$

Acum aplicăm aceste considerații în cazul rotației în jurul unei axe cu un moment de inerție . Foarte mic de data asta . Prin urmare, dependența de timp poate fi neglijată. $eu_{2}$ ${\dot {\omega }}_{2}$ $\omega _{2}$

Acum diferențiam ecuația (1) în funcție de timp și înlocuim de ecuația (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{2}^{2}\omega _{1}.\\\end{aligned}}

Rețineți că semnele lui y și sunt aceleași, deoarece toți cei trei factori și sunt pozitivi. În consecință, viteza inițial scăzută va crește exponențial până când încetează să fie mică și natura rotației în jurul axei 2 nu se schimbă. Astfel, chiar și micile perturbații de-a lungul altor axe fac obiectul să se „întoarcă”. $\omega_{1}$ ${\ddot {\omega }}_{1}$ $(I_{2}-I_{3}),$ $(I_{1}-I_{2})$ $\omega _{2}^{2)$ $\omega_{1}$ ${\dot {\omega }}_{2}$

Vezi și

Note

↑ Efectul Dzhanibekov - Forumuri CNews (link inaccesibil) . live.cnews.ru. Preluat la 26 martie 2016. Arhivat din original la 16 august 2016. (nedefinit)
↑ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone, Richard H. Cushman. Racheta de tenis Twisting (neopr.) // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 1991. - V. 3 , nr 1 . - S. 67-85 . - doi : 10.1007/BF01049489 .
↑ Vezi, de exemplu: Sivukhin D.V. § 53, Tensor și elipsoid de inerție; § 54, Rotirea unui corp rigid prin inerție în jurul unui punct fix // Curs general de fizică. - M . : Stiinta , 1979. - T. I. Mecanica. - S. 297-300 . — 520 s.
↑ Poinsot L. Theórie nouvelle de la rotations des corps : Extrait d'un Mémoire lu à l'Académie des Sciences de l'Institut, le 19 mai 1834 (fr.) . - Paris: Bachelier, 1834. - S. 47-51. — 56 p.
↑ Poinsot L. Outlines of a New Theory of Rotatory Motion (Engleză) / trad. din fr. în engleză: Ch. Whitley. - Cambridge: Pitt Press, 1834. - P. 63-68. - iv + 96 p. :
Dacă polul instantaneu [de rotație] coincide cu polul mai mare sau mai mic al elipsoidului [de inerție] și, sub influența impulsului unei mici perechi perturbatoare [de forțe], deviază o mică distanță de la acesta, atunci va nu se va deplasa mai departe, ci va descrie poloidul său în jurul acestui pol special al elipsoidului. Dar se întâmplă diferit când polul instantaneu coincide cu polul mediu al elipsoidului; căci la orice deplasare, se va deplasa din ce în ce mai departe și va continua să-și descrie poloidul în jurul unui pol mai mare sau mai mic, în funcție de faptul dacă această perturbare aleatorie este îndreptată spre creșterea sau scăderea distanței planului tangent al perechii față de centru. a elipsoidului. Dacă perturbația este de așa natură încât această distanță nu se modifică, ceea ce are loc în direcțiile a două elipse particulare care se intersectează la polul mijlociu, atunci polul instantaneu va descrie elipsa de-a lungul căreia a început să se miște, sau mai degrabă jumătate din această elipsă, până când ajunge la polul opus de mijloc, care este cea mai mare perturbare pe care o poate experimenta un corp; între timp, dacă mișcarea polului ar fi începută de-a lungul celeilalte jumătate a acestei elipse, s-ar întoarce imediat la același pol din mijloc, ceea ce este cea mai mică perturbare posibilă. Prin urmare, există singurul caz în care axa instantanee, pusă deoparte de axa mijlocie cu care a coincis la început, nu numai că nu se îndepărtează mai mult de ea, ci chiar revine imediat la ea, până când distanța ei devine mai mică decât oricare. valoare dată. Dar în toate celelalte cazuri începe să descrie un con eliptic în jurul axei majore sau minore, sau urmează planul uneia sau celeilalte elipse pe care am menționat-o; și putem spune că mișcarea de rotație în jurul axei din mijloc nu are stabilitate.
↑ Mark Levy. 6. Paradoxul rachetei de tenis // Mecanica clasică cu calculul variațiilor și controlul optim: o introducere intuitivă. - Societatea Americană de Matematică, 2014. - P. 151-152.

Link -uri

Demonstrarea efectului - stația orbitală Mir , Alexander Serebrov , prezentată în programul din seria Lecții din spațiu, lansat în 1997
Video cu efectul Janibekov de la Stația Spațială Internațională , prezentat de membrii echipajului ISS-30 Anton Shkaplerov și Daniel Burbank
Videoclip cu încetinitorul care demonstrează rotația unei rachete de tenis de masă
Demo efect Dzhanibekov , modelat folosind Blender , surse demo disponibile și
O explicație intuitivă a efectului Dzhanibekov