Elipsoid de inerție

Elipsoidul de inerție (pentru punctul O) este o figură geometrică sub forma unei suprafețe de ordinul doi care caracterizează tensorul de inerție al unui corp rigid în raport cu punctul O.

Tensorul de inerție și elipsoidul de inerție

Articolul principal: Tensor de inerție

Momentul de inerție al unui corp este dat de formula generală:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

Tensorul de inerție pentru un corp rigid este reprezentat ca o matrice simetrică

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

în care elementele sunt momentele de inerție față de diferite axe:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

Matricea tensorului de inerție poate fi reprezentată într- o formă diagonală , iar apoi elementele diagonale , , vor fi principalele momente de inerție ale corpului. Ecuația pentru elipsoidul de inerție se scrie astfel: $I_{x}$ $I_{y)$ $I_{z}$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

În acest caz, axele de coordonate ale elipsoidului trebuie să coincidă cu axele principale ale corpului.

Cunoașterea elipsoidului de inerție vă permite să găsiți momentul de inerție al corpului față de orice axă, atâta timp cât trece prin centrul elipsoidului. Pentru a face acest lucru, un vector rază este desenat de-a lungul axei selectate până când se intersectează cu elipsoidul de inerție. Momentul de inerție al corpului în jurul acestei axe este dat de formula:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , unde este lungimea vectorului rază. $r$

Dacă momentul forțelor exterioare față de un punct fix este egal cu zero, atunci se spune că se realizează cazul Euler al mișcării unui corp rigid. Pentru un astfel de caz, Poinsot a reușit să obțină o interpretare geometrică clară: elipsoidul de inerție pentru un punct fix se rostogolește fără alunecare de-a lungul unui plan fixat în spațiu; acest plan este ortogonal cu vectorul moment unghiular al corpului; viteza unghiulară a corpului este proporțională cu lungimea vectorului de rază a punctului de contact și coincide cu acesta în direcție.

Exemple de elipsoizi de inerție

Paralepiped dreptunghiular

Fie paralelipipedul să aibă dimensiuni . Momentele principale de inerție: $a,b,c$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

O vedere aproximativă a elipsoidului de inerție este prezentată în ilustrație.

Pentru a calcula elipsoidul de inerție al unei tije subțiri infinit de lungi , una dintre dimensiuni este considerată mult mai mare decât celelalte, iar elipsoidul degenerează într-o suprafață cilindrică .

Literatură

Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - a 4-a ed. — M. : FIZMATLIT; Editura MIPT, 2005. - Vol. 1. Mecanica. - S. 311. - 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Atelier de laborator de fizică generală / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mecanica. - S. 133. - 316 p. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Fizica teoretica. - a 5-a ed. - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mecanica. - S. 131. - 224 p. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .